動點最值問題，由於是動態問題，因此存在最值。前面我們學過了將軍飲馬，動點就是直線上需要找的那個點，它的軌跡是一條直線，但是實際題目中，有些動點的軌跡它不是直線，而是乙個圓，或者是一段圓弧。需要注意的一點是，題目一般不會直接告訴我們動點的軌跡，而是要求我們利用條件去找到動點的軌跡，那麼接下來我們會學習一下最值問題輔助圓的構造方法。
一、利用圓的定義構造軌跡圓
圓的定義：平面內到定點的距離等於定值的所有點構成的集合．
構造思路：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．
例題1：如圖，在邊長為2的菱形abcd中，∠a=60°，m是ad邊的中點，n是ab邊上的一動點，將△amn沿mn所在直線翻摺得到△a』mn，連線a』c，則a』c長度的最小值是__________．
例題2：如圖，矩形abcd中，ab=4，bc=8，p、q分別是直線bc、ab上的兩個動點，ae=2，△aeq沿eq翻摺形成△feq，連線pf、pd，則pf+pd的最小值是_________．
二、利用定邊對直角構造輔助圓
知識點：直徑所對的圓周角是直角．
構造思路：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
若ab是一條定線段，且∠apb=90°，則p點軌跡是以ab為直徑的圓．
【例題】已知正方形abcd邊長為2，e、f分別是bc、cd上的動點，且滿足be=cf，連線ae、bf，交點為p點，則pd的最小值為_________．
【分析】由於e、f是動點，故p點也是動點，因而存在pd最小值這樣的問題，那p點軌跡如何確定？
考慮be=cf，易證ae⊥bf，即在運動過程中，∠apb=90°，故p點軌跡是以ab為直徑的圓．
連線oc，與圓的交點即為p點，再通過勾股定理即可求出pc長度．
【2013武漢中考】如圖，e、f是正方形abcd的邊ad上的兩個動點，滿足ae=df，連線cf交bd於點g，連線be交ag於點h，若正方形邊長為2，則線段dh長度的最小值是________．
【2016安徽中考】如圖，rt△abc中，ab⊥bc，ab=6，bc=4，p是△abc內部的乙個動點，且滿足∠pab=∠pbc，則線段cp長的最小值是_________．
三、定邊對定角
在「定邊對直角」問題中，依據「直徑所對的圓周角是直角」，關鍵性在於尋找定邊、直角，而根據圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相．定邊必不可少，而直角則可一般為定角．例如，ab為定值，∠p為定角，則a點軌跡是乙個圓．
當然，∠p度數也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分別作對應的軌跡圓．
若∠p=30°，以ab為邊，同側構造等邊三角形aob，o即為圓心．
若∠p=45°，以ab為斜邊，同側構造等腰直角三角形aob，o即為圓心．
若∠p=60°，以ab為底，同側構造頂角為120°的等腰三角形aob，o即為圓心．
若∠p=120°，以ab為底，異側為邊構造頂角為120°的等腰三角形aob，o即為圓心．
【例題】如圖，等邊△abc邊長為2，e、f分別是bc、ca上兩個動點，且be=cf，連線ae、bf，交點為p點，則cp的最小值為________．
【分析】由be=cf可推得△abe≌△bcf，所以∠apf=60°，但∠apf所對的邊af是變化的．
所以如圖所示，p點軌跡是以點o為圓心的圓弧．（構造oa=ob且∠aob=120°）
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