其中x0我們預設為1，所以其實就是乙個一元一次函式。
這裡面的x1代表了我們的輸入，比如房價**中的房屋尺寸，h(x)其實就是給出一種**。
但是我們知道，**房價，房屋的尺寸一定不是影響房屋**的唯一變數，還有可能是地理位置，周邊建築，房屋年齡等等，所以就涉及到了我們今天要討論的問題，多變數回歸。
首先呢，我們先給出多變數回歸的**公式，就是輸入一組資料之後可以給出我們**值的函式：
這裡可能有人會問為什麼x的函式都是一次的？不能是平方，立方，log或者其他的x的變數形式麼？其實是可以的，但是為了方便我們的討論，這裡先假定為一次的，並且我們對於代價函式的求導其實是關於θ值的求導，所以x的形式對於我們的討論影響不是很大。
回歸正題，我們現在有了我們的**函式，下面我們應該關注什麼呢？沒錯，就是我們的代價函式，我們給出代價函式的定義：
其實與單變數的代價函式是一樣的，那麼我們的梯度下降演算法也很類似：
x0為1
如果你理解了單變數回歸的話，那麼多變數回歸也是簡單易懂的。
那麼我們下面來看看幾個多變數回歸的技巧：
一：特徵縮放
我們知道，所有的θ值都用著相同的步長α，但是我們的特徵為房子的尺寸（1-2000）和房間的數量（1-5），所以我們如果步長過大，就可能錯過最優點，但是如果過小，我們的尺寸的下降過程就會特別的慢，所以我們應該如何解決這個問題呢？
就需要我們的技巧-特徵縮放，我們需要將所有的特徵縮放到（-1，1）這個區間中，比如房子的尺寸，我們可以（size-1000）/1000，來獲得縮放後的值，然後再進行特度下降，這樣對於我們的代價函式可以盡快的收斂。
二：α的選擇
我們知道了步長的不同會影響我們梯度下降的效率，如何選擇乙個合適的α值呢？我們可以利用我們的軟體畫出這樣的一幅函式影象，x軸代表的是迭代的步數，y軸代表的是迭代了x步之後代價函式的函式值，正常情況下的函式影象應該如下：
一條不斷接近零收斂的影象，我們畫出影象有以下幾個好處：
首先我們可以觀察到當前步長選擇之後的梯度下降是否正常，因為如果我們的步長過長可能會出現下面的影象：
原因如上圖所示。
其次，我們還可以觀察多少步之後函式收斂，我們進而可以評估α值的選取是否優秀。其實我們也可以自動檢測函式是否收斂，只要我們規定乙個閾值，當函式的下降值小於這個值的時候，自動認為函式收斂，但是因為這個閾值選取不方便，所以我們還是利用畫圖的方式來進行判斷。
這裡可以證明只要α值足夠小，是一定可以收斂的。
我們選擇α的方法也很簡單，0.001，0.003，0.01.....
每次乘3，直到我們選擇出乙個合適的值。
三：特徵選擇
以房價**為例子，如果我們選擇房屋的寬和長作為我們的特徵去擬合我們的房價，可能最後的擬合結果並不理想，實際上我們需要使用的主要特徵是房屋的面積，也就是長*寬，所以我們可以根據實際的情況構建我們新的特徵。其次，我們觀察我們上面的影象，我們如果選擇用二次函式來 擬合我們的資料集，可能並不是很合適，因為我們直到二次函式最終還是會下降的，所以我們用三次函式來進行資料集的擬合。那麼我們如何用三次函式來擬合呢？我們可以構建兩個新的特這，面積的平方，面積的立方作為我們新的特徵，然後再進行特度下降即可，但是值得注意的是，這裡面特徵縮放會顯得尤為重要。
四：標準方程
我們如果是線性回歸的話，可以利用如下的公式直接進行求解：
為什麼要用x的轉置乘x呢？因為x矩陣不一定可逆，所以需要用這樣的方式將它變為n*n的矩陣，這樣至少可以進行逆的運算，至於這個n*n的矩陣是不是可逆我們以後再談。
其實這個式子就是由y = xθ的變換而已，裡面用了一點點小技巧，那麼我們來看看這樣做有哪些好處吧：
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