從最基礎的講起如何做到均勻的生成隨機數

題目描述：470. 用 rand7() 實現 rand10()

因為是第一次接觸到這樣的題目，毫無思緒，對官方題解也是「不知道為什麼要這麼做」。看過一些題解之後才逐漸明白，現在讓我自己來寫題解，我打算先從簡單的開始講起。

假設已知rand2()可以均勻的生成[1,2]的隨機數，現在想均勻的生成[1,4]的隨機數，該如何考慮？

我想如果你也像我一樣第一次接觸這個問題，那麼很可能會這麼考慮——令兩個rand2()相加，再做一些必要的邊角處理。如下：

rand2() + rand2() = ? ==> [2,4]
1    +   1     = 2
1    +   2     = 3
2    +   1     = 3
2    +   2     = 4

// 為了把生成隨機數的範圍規約成[1,n]，於是在上一步的結果後減1

(rand2()-1) + rand2() = ? ==> [1,3]
0       +   1     = 1
0       +   2     = 2
1       +   1     = 2
1       +   2     = 3

可以看到，使用這種方法處理的結果，最致命的點在於——其生成的結果不是等概率的。在這個簡單的例子中，產生2的概率是50%，而產生1和3的概率則分別是25%。原因當然也很好理解，由於某些值會有多種組合，因此僅靠簡單的相加處理會導致結果不是等概率的。

因此，我們需要考慮其他的方法了。

仔細觀察上面的例子，我們嘗試對 (rand2()-1) 這部分乘以 2，改動後如下：

(rand2()-1) × 2 + rand2() = ? ==> [1,3]
0            +   1     = 1
0            +   2     = 2
2            +   1     = 3
2            +   2     = 4

神奇的事情發生了，奇怪的知識增加了。通過這樣的處理，得到的結果恰是[1,4]的範圍，並且每個數都是等概率取到的。因此，使用這種方法，可以通過rand2()實現rand4()。

也許這麼處理只是我運氣好，而不具有普適性？那就多來嘗試幾個例子。比如：

(rand9()-1) × 7 + rand7() = result
a               b

為了表示方便，現將rand9()-1表示為a，將rand7()表示為b。計算過程表示成二維矩陣，如下：

可以看到，這個例子可以等概率的生成[1,63]範圍的隨機數。再提煉一下，可以得到這樣乙個規律：

已知 rand_n() 可以等概率的生成[1, n]範圍的隨機數

那麼：(rand_x() - 1) × y + rand_y() ==> 可以等概率的生成[1, x * y]範圍的隨機數

即實現了 rand_xy()

那麼想到通過rand4()來實現rand2()呢？這個就很簡單了，已知rand4()會均勻產生[1,4]的隨機數，通過取餘，再加1就可以了。如下所示，結果也是等概率的。

rand4() % 2 + 1 = ?
1 % 2    + 1 = 2
2 % 2    + 1 = 1
3 % 2    + 1 = 2
4 % 2    + 1 = 1

事實上，只要rand_n()中n是2的倍數，就都可以用來實現rand2()，反之，若n不是2的倍數，則產生的結果不是等概率的。比如：

rand6() % 2 + 1 = ?
1 % 2    + 1 = 2
2 % 2    + 1 = 1
3 % 2    + 1 = 2
4 % 2    + 1 = 1
5 % 2    + 1 = 2
6 % 2    + 1 = 1

rand5() % 2 + 1 = ?
1 % 2    + 1 = 2
2 % 2    + 1 = 1
3 % 2    + 1 = 2
4 % 2    + 1 = 1
5 % 2    + 1 = 2

ok，現在回到本題中。已知rand7()，要求通過rand7()來實現rand10()。

有了前面的分析，要實現rand10()，就需要先實現rand_n()，並且保證n大於10且是10的倍數。這樣再通過rand_n() % 10 + 1 就可以得到[1,10]範圍的隨機數了。

而實現rand_n()，我們可以通過part 1中所講的方法對rand7()進行改造，如下：

(rand7()-1) × 7 + rand7() ==> rand49()

但是這樣實現的n不是10的倍數啊！這該怎麼處理？這裡就涉及到了「拒絕取樣」的知識了，也就是說，如果某個取樣結果不在要求的範圍內，則丟棄它。基於上面的這些分析，再回頭看下面的**，想必是不難理解了。

class solution extends solbase }}

這部分具體的**是參考官方題解的，不過是我自己在理解了part 1和part 2之後才看懂的，一開始看真不知道為什麼（/(ㄒoㄒ)/~~...

根據part 1的分析，我們已經知道(rand7() - 1) * 7 + rand7() 等概率生成[1,49]範圍的隨機數。而由於我們需要的是10的倍數，因此，不得不捨棄掉[41, 49]這9個數。優化的點就始於——我們能否利用這些範圍外的數字，以減少丟棄的值，提高命中率總而提高隨機數生成效率。

class solution extends solbase }}

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