尤拉角用來計算空間中剛體的旋轉位置，目的是改變剛體的朝向.
具體來說,空間中有乙個點p和一根軸k，點p繞軸k旋轉θ角度到p',求p'的座標.這就是尤拉角要解決的問題.
只不過,尤拉角將1個點繞1根軸旋轉1個角"轉化為"1個點繞3個軸連續旋轉3個角".
尤拉角的最終目的是為了改變剛體的朝向,剛體可以看做向量的集合,所有的向量都繞著同乙個軸旋轉相同的角度,達到改變剛體朝向的目的.
這裡用"朝向"來描述剛體的位置變化,是為了表明剛體圍繞某個目標變化其位置.從數學角度理解,將目標抽象為旋轉軸.旋轉軸可以在剛體上,也可以在剛體之外,事實上可以在任何位置.
尤拉角分為內旋(動態)尤拉角和外旋（靜態）尤拉角.
內旋尤拉角旋轉矩陣的推導過程
剛體及其座標系ox0y0z0繞oz0逆時針旋轉γ角度,設旋轉後的新座標係為ox1y1z1.
剛體及其座標系ox1y1z1繞ox1逆時針旋轉α角度,設旋轉後的新座標係為ox2y2z2.
剛體及其座標系ox2y2z2繞oy2逆時針旋轉β角度,設旋轉後的新座標係為ox3y3z3.
這就是內旋尤拉角的旋轉過程,如下圖所示:
旋轉軸序:z0-x1-y2；角序(γ,α,β).
因為剛體上的p點隨著活動座標系同步旋轉,所以旋轉完成後p點在活動座標系ox3y3z3中對應的向量v3=v;求此時(完成3次旋轉後)p點在ox0y0z0/oxyz中的向量v30及復合旋轉矩陣r(γ,α,β)？
注意v3和v30的關係,這兩個向量描述空間中同乙個點p在兩個不同座標系（ox3y3z3，ox0y0z0）中的位置,需要將座標系ox3y3z3中的v3變換到ox0y0z0中的v30.設變換矩陣r，那麼v30 = r *v3.
根據條件，需要間接計算r，本質上其實是三次座標變換：
將ox3y3z3中的v3變換到ox2y2z2中的v32,相當於ox3y3z3繞y3軸順時針旋轉β到ox2y2z2位置（旋轉方向x3 => z3）.設基礎變換矩陣r（y3，β），則：v32 = r（y3，β） *v3.，求得：
2.將ox2y2z2中的v32變換到ox1y1z1中的v31,相當於ox3y3z3從ox2y2z2位置繞x2軸順時針旋轉α角度到ox1y1z1位置（旋轉方向z2 => y2）設基礎變換矩陣r（x2，α），則：v31 = r（x2，α） *v32.，求得：
3.將ox1y1z1中的v31變換到ox0y0z0中的v30,相當於ox3y3z3從ox1y1z1位置繞z1軸順時針旋轉γ角度到ox0y0z0位置（旋轉方向y1 => z1）設基礎變換矩陣r（z1，γ），則：v30 = r（z1，γ） *v31.，求得：
變換關係推導,v30 = r（z1，γ） *v31 = r（z1，γ） * r（x2，α） *v32 = r（z1，γ） * r（x2，α） * r（y3，β） *v3 = r *v3 = r *v.
這3個基礎變換矩陣就是內旋尤拉角(γ,α,β)連續繞軸z0-x1-y2旋轉對應的3個基礎旋轉矩陣；復合變換矩陣r就是復合旋轉矩陣r(γ,α,β)： r(γ,α,β) = r = r（z1，γ） * r（x2，α） * r（y3，β）,最終求得：
這個結果與萬維百科的結果相同（該網頁底部的表最後乙個,只是這裡表示尤拉角的符號順序跟表中的不一樣，替換掉就行了），如下圖所示:
表中的z1x2y3=......是軸序:y-x-z的外旋尤拉角(α, β, γ)的復合旋轉矩陣;不過沒關係，軸序相反(z0-x1-y2),角序相同的動態尤拉角(α,β,γ)也是這個旋轉矩陣.
注:所謂旋轉矩陣，是針對點p在固定座標系oxyz中旋轉而言,假設沒有活動座標系參與，那麼點p在固定座標系oxyz中其實繞著3條直線(分別與活動座標系3個軸z0-x1-y2重合)旋轉，直接求這3個旋轉矩陣很困難，所以要通過座標變換的方法間接求旋轉矩陣。
外旋尤拉角旋轉矩陣的推導過程
外旋尤拉角很容易理解，就是剛體在固定座標系oxyz中繞座標軸旋轉，將問題簡化為剛體上的點p在固定座標系oxyz中繞座標軸y-x-z分別旋轉(γ,α,β)角度,其實並不涉及活動座標系,只不過為了跟內旋尤拉角對比，這裡仍然令活動座標系參與旋轉.
設初始狀態p點在固定座標系oxyz中的向量v.
剛體活動座標系ox0y0z0繞oy軸逆時針旋轉γ角度，設旋轉後的新座標係為ox1y1z1，v旋轉到v1,設基礎旋轉矩陣r(y,γ),有:v1 = r(y,γ) *v.
2.剛體活動活動座標系ox1y1z1繞ox軸逆時針旋轉α角度,設旋轉後的新座標係為ox2y2z2，v1旋轉到v2,設基礎旋轉矩陣r(x,α),有:v2 = r(x,α) *v1.
3.剛體活動活動座標系ox2y2z2繞oz軸逆時針旋轉β角度,設旋轉後的新座標係為ox3y3z3，v2旋轉到v3,設基礎旋轉矩陣r(z,β),有:v3 = r(z,β) *v2.
設復合旋轉矩陣r(γ,α,β),有:v3 = r(z,β) *v2= r(z,β) * r(x,α) *v1= r(z,β) * r(x,α) * r(y,γ) *v= r(γ,α,β) * v,求得：
結果與萬維百科的結果相同（上面那個圖表，只是這裡表示尤拉角的符號順序跟表中不一樣，替換的即可）.
內旋尤拉角和外旋尤拉角旋轉矩陣對比，對旋轉的理解
比較上述內旋尤拉角復合旋轉矩陣r(γ,α,β)和外旋尤拉角復合旋轉矩陣r(γ,α,β)，發現r(γ,α,β) = r(γ,α,β).由此可以得出乙個結論,角序相同，軸序相反(當然軸所在的座標系不同)的內,外旋尤拉角復合旋轉矩陣相同.
可見,內旋尤拉角和外旋尤拉角只是用不同的計算方法來解決同乙個問題.
如果將三次旋轉合併為一次旋轉,就是軸角法.
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