一開始在數軸0位置,有p概率往右走,q概率往左走,問第一次到達位置n的期望步數
特別的,在0位置有100%機率到達1。(有點像裝備強化的事件,或者排位上分?)
用模擬與數學推導分別算一次結果對拍
假設p=0.75 程式模擬10000000次的均值如下(大數定理,但肯定有誤差)
nans11
22.6662
34.55596
46.51928
設e(x)為從x開始,第一次到n的期望步數,答案就是e(0)
方程為
解釋就是有p的概率狀態轉移至x+1 q概率轉移至x-1 花費為1步
在1的時候有p概率轉移到2花費為1,q的概率轉移到1(0下一步肯定是1),花費為2步
開始推導:
設e(x)-e(x+1)=ax
注意到a1=e1-e2
注意到en=0,那麼e1=ax的前n-1項和 1<=x<=n-1
對an進行求和得到sn如下
代入p=0.75,q=0.25
而我們想要的的
nans
數學公式11
122.6662
5/3+1 =2.666666
34.55596
32/9+1 =4.555555
46.51928
149/27+1=6.51852
因此驗證此公式是正確的
注意:以上公式是p!=q的時候成立
當p=q=1/2時可得e(0)=n^2
由乙個簡單的js題目想到的問題。。。。
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