例題 ：查詢兩個有序陣列合併後的中位數
【題目】 兩個有序陣列查詢合併之後的中位數。給定兩個大小為 m 和 n 的正序（從小到大）陣列 nums1 和 nums2。請你找出這兩個正序數組合在一起之後的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 o(log(m + n))。
你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空，所有的數字全都不相等。還可以再假設，如果數字個數為偶數個，中位數就是中間偏左的那個元素。
例如：nums1 = [1, 3, 5, 7, 9]
nums2 = [2, 4, 8, 12]
輸出 5。
我們先看一下複雜度的分析。這裡的 nums1 和 nums2 都是有序的，這讓我們第一時間就想到了歸併排序。方法很簡單，我們把兩個陣列合併，就得到了合在一起後的有序陣列。這個動作的時間複雜度是 o(m+n)。接著，我們從陣列中就可以直接取出中位數了。很可惜，這並不滿足題目的時間複雜度 o(log(m + n)) 的要求。
接著，我們來看一下這個問題的定位。題目中有乙個關鍵字，那就是「找出」。很顯然，我們要找的目標就藏在 nums1 或 nums2 中。這明顯就是乙個查詢問題。而在查詢問題中，我們學過的知識是分治法下的二分查詢。
回想一下，二分查詢適用的重要條件就是，原陣列有序。恰好，在這個問題中 nums1 和 nums2 分別都是有序的。而且二分查詢的時間複雜度是 o(logn)，這和題目中給出的時間複雜度 o(log(m + n)) 的要求也是不謀而合。因此，經過分析，我們可以大膽猜測，此題極有可能要用到二分查詢。
我們再來看一下資料結構方面。如果要用二分查詢，就需要用到若干個指標，去約束查詢範圍。除此以外，並不需要去定義複雜的資料結構。也就是說，空間複雜度是 o(1) 。
好了，接下來，我們就來看一下二分查詢如何能解決這個問題。二分查詢需要乙個**點，去把原來的大問題，拆分成兩個部分，並在其中一部分繼續執行二分查詢。既然是查詢中位數，我們不妨先試試以中位數作為切分點，看看會產生什麼結果。如下圖所示：
經過切分後，兩個陣列分別被拆分為 3 個部分，合在一起是 6 個部分。二分查詢的思路是，需要從這 6 個部分中，剔除掉一些，讓查詢的範圍縮小。那麼，我們來思考乙個問題，在這 6 個部分中，目標中位數一定不會發生在哪幾個部分呢？
中位數有乙個重要的特質，那就是比中位數小的數字個數，和比中位數大的數字個數，是相等的。圍繞這個性質來看，中位數就一定不會發生在 c 和 d 的區間。
如果中位數在 c 部分，那麼在 nums1 中，比中位數小的數字就會更多一些。因為 4 < 5（nums2 的中位數小於 nums1 的中位數），所以在 nums2 中，比中位數小的數字也會更多一些（最不濟也就是一樣多）。因此，整體來看，中位數不可能在 c 部分。同理，中位數也不會發生在 d 部分。
接下來，我們就可以在查詢範圍內，剔除掉 c 部分（永遠比中位數大的數字）和 d 部分（永遠比中位數小的數字），這樣我們就成功地完成了一次二分動作，縮小了查詢範圍。然而這樣並沒結束。剔除掉了 c 和 d 之後，中位數有可能發生改變。這是因為，c 部分的數字個數和 d 部分數字的個數是不相等的。剔除不相等數量的「小數」和「大數」後，會造成中位數的改變。
為了解決這個問題，我們需要對剔除的策略進行修改。乙個可行的方法是，如果 c 部分數字更少為 p 個，則剔除 c 部分；並只剔除 d 部分中的 p 個數字。這樣就能保證，經過一次二分後，剔除之後的陣列的中位數不變。
應該剔除 c 部分和 d 部分。但 d 部分更少，因此剔除 d 和 c 中的 9。
二分查詢還需要考慮終止條件。對於這個題目，終止條件必然是某個陣列小到無法繼續二分的時候。這是因為，每次二分剔除掉的是更少的那個部分。因此，在終止條件中，查詢範圍應該是乙個大陣列和乙個只有 1～2 個元素的小陣列。這樣就需要根據大陣列的奇偶性和小陣列的數量，拆開 4 個可能性：
可能性一：nums1 奇數個，nums2 只有 1 個元素。例如，nums1 = [a, b, c, d, e]，nums2 = [m]。此時，有以下 3 種可能性：
如果 m < b，則結果為 b；
如果 b < m < c，則結果為 m；
如果 m > c，則結果為 c。
這 3 個情況，可以利用 "a?b:c" 合併為乙個表示式，即 m < b ? b : (m < c ? m : c)。
可能性二：nums1 偶數個，nums2 只有 1 個元素。例如，nums1 = [a, b, c, d, e, f]，nums2 = [m]。此時，有以下 3 種可能性：
如果 m < c，則結果為 c；
如果 c < m < d，則結果為 m；
如果m > d，則結果為 d。
這 3 個情況，可以利用"a?b:c"合併為乙個表示式，即 m < c ? c : (m < d? m : d)。
可能性三：nums1 奇數個，nums2 有 2 個元素。例如，nums1 = [a, b, c, d, e]，nums2 = [m,n]。此時，有以下 6 種可能性：
如果 n < b，則結果為 b；
如果 b < n < c，則結果為 n；
如果 c < n < d，則結果為 max(c,m)；
如果 n > d，m < c，則結果為 c；
如果 n > d，c < m < d，則結果為 m；
如果 n > d，m > d，則結果為 d。
其中，4～6 可以合併為，如果 n > d，則返回 m < c ? c : (m < d ? m : d)。
可能性四：nums1 偶數個，nums2 有 2 個元素。例如，nums1 = [a, b, c, d, e, f]，nums2 = [m,n]。此時，有以下 6 種可能性：
如果 n < b，則結果為 b；
如果 b < n < c，則結果為 n；
如果 c < n < d，則結果為 max(c,m)；
如果 n > d，m < c，則結果為 c；
如果 n > d，c < m < d，則結果為 m；
如果 n > d，m > d，則結果為 d。與可能性 3 完全一致。
不難發現，終止條件都是 if 和 else 的判斷，雖然邏輯有點複雜，但時間複雜度是 o(1) 。為了簡便，我們可以假定，nums1 的數字數量永遠是不少於 nums2 的數字數量。
因此，我們可以編寫如下的**：
#includeint find(int* a,int begina,int enda,int* b,int beginb,int endb)else }
//劃分
int mida = (begina + enda) / 2;
int midb = (beginb + endb) / 2;
//劃分原則 中位數比一組中間數大的小（在左邊）， 比一組中間數小的大（在右邊），兩組增刪一致，按b的即元素少的那一組
if( a[mida] < b[midb]) else
}int main();
int b = ;
int lengtha = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
int lengthb = sizeof(b) / sizeof(b[0]);
printf("兩組有序數列的合併數列中位數為%d\n",find(a,0,lengtha - 1,b,0,lengthb - 1));
return 0;
}
查詢兩個有序陣列的中位數
題目 給定兩個大小為 m 和 n 的有序陣列nums1和nums2。請你找出這兩個有序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 o log m n 你可以假設nums1和nums2不會同時為空。示例 1 nums1 1,3 nums2 2 則中位數是 2.0 class solution for ...
兩個有序陣列中位數
大小m和n分別有兩個排序陣列a和b。找到兩個排序陣列的中值。總的執行時間複雜度應該是o log m n class solution return findkth a,b,0,0,m,n,s 2 findkth a,b,0,0,m,n,s 2 1 2 private double findkth v...
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首先我們可以不斷分割得到這個kkk。首先兩個陣列都分配k 2 frac 2k 如果第k 2 frac 2k 個數，第乙個陣列小於第二個陣列，那麼第乙個陣列的k 2 frac 2k 個數一定不是答案。問題可以變成乙個子問題，上乙個陣列從k2 1 frac 1 2k 1開始。相當於我們每次要去掉k 2 ...