假設原來的矩陣為[a,b]，a,b為線性無關的二維向量，下面我們通過gram-schmidt正交化使得矩陣a為標準正交矩陣：
假設正交化後的矩陣為q=[a,b],我們可以令a=a，那麼我們的目的根據ab=i來求b，b可以表示為b向量與b向量在a上的投影的誤差向量：
為givens矩陣（初等旋轉矩陣），也記作
由givens矩陣所確定的線性變換稱為givens變換（初等旋轉變換）。
實數
平面直角座標系中，將向量
5 """gram-schmidt正交化"""
6 q=np.zeros_like(a)
7 cnt = 0
8 for a in a.t:
9 u = np.copy(a)
10 for i in range(0, cnt):
11 u -= np.dot(np.dot(q[:, i].t, a), q[:, i]) # 減去待求向量在以求向量上的投影
12 e = u / np.linalg.norm(u) # 歸一化
13 q[:, cnt] = e
14 cnt += 1
15 r = np.dot(q.t, a)
16 return (q, r)
17 18 def givens_rotation(a):
19 """givens變換"""
20 (r, c) = np.shape(a)
21 q = np.identity(r)
22 r = np.copy(a)
23 (rows, cols) = np.tril_indices(r, -1, c)
24 for (row, col) in zip(rows, cols):
25 if r[row, col] != 0: # r[row, col]=0則c=1,s=0,r、q不變
26 r_ = np.hypot(r[col, col], r[row, col]) # d
27 c = r[col, col]/r_
28 s = -r[row, col]/r_
29 g = np.identity(r)
30 g[[col, row], [col, row]] = c
31 g[row, col] = s
32 g[col, row] = -s
33 r = np.dot(g, r) # r=g(n-1,n)*...*g(2n)*...*g(23,1n)*...*g(12)*a
34 q = np.dot(q, g.t) # q=g(n-1,n).t*...*g(2n).t*...*g(23,1n).t*...*g(12).t
35 return (q, r)
36 37 def householder_reflection(a):
38 """householder變換"""
39 (r, c) = np.shape(a)
40 q = np.identity(r)
41 r = np.copy(a)
42 for cnt in range(r - 1):
43 x = r[cnt:, cnt]
44 e = np.zeros_like(x)
45 e[0] = np.linalg.norm(x)
46 u = x - e
47 v = u / np.linalg.norm(u)
48 q_cnt = np.identity(r)
49 q_cnt[cnt:, cnt:] -= 2.0 * np.outer(v, v)
50 r = np.dot(q_cnt, r) # r=h(n-1)*...*h(2)*h(1)*a
51 q = np.dot(q, q_cnt) # q=h(n-1)*...*h(2)*h(1) h為自逆矩陣
52 return (q, r)
53 54 np.set_printoptions(precision=4, suppress=true)
55 a = np.array([[6, 5, 0],[5, -1, 4],[5, 1, -14],[0, 4, 3]],dtype=float)
56 57 (q, r) = gram_schmidt(a)
58 print(q)
59 print(r)
60 print np.dot(q,r)
61 62 (q, r) = givens_rotation(a)
63 print(q)
64 print(r)
65 print np.dot(q,r)
66 67 (q, r) = householder_reflection(a)
68 print(q)
69 print(r)
70 print np.dot(q,r)
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