有些狀態量並不能由感測器直接觀測出來，那麼可以通過控制量和輸出量把狀態量觀測出來。
對於乙個系統 :
x ˙=
ax+b
uy=c
x\dot x=ax+bu\\y=cx
x˙=ax+
buy=
cx如果已知a、b、c（也就是已知模型），那麼可以觀測出估計狀態量x
^\hat x
x^：x˙^
=ax^
+bu\hat=a\hat x+bu
x˙^=ax
^+bu
只要能獲取原系統的初始狀態，那麼是可以得到x^(
t)=x
(t)，
t≥0\hat x(t)=x(t)，t\ge0
x^(t)=
x(t)
，t≥0
的。這就是開環狀態觀測器
開環觀測器有個很大的問題是，如果a的特徵值在右半平面，一旦某乙個時刻的狀態觀測不準確，那麼估計狀態和實際狀態之間的誤差會越變越大，最終狀態的估計完全失真。
這裡留乙個思考題，為什麼說a的特徵值在右半平面，系統會不穩定呢？（我們通常把這個當作乙個結論）答案我放在這篇部落格裡了【控制理論】【數學基礎】為什麼說對於dx=ax系統，a的特徵值在右半平面系統不穩定。
既然開環觀測器不穩定，那麼引入乙個修正項l(y
−cx^
)l(y-c\hat x)
l(y−cx
^)，新的觀測狀態方程寫作：
x ˙^
=ax^
+bu+
l(y−
cx^)
\hat=a\hat x+bu+l(y-c\hat x)
x˙^=ax
^+bu
+l(y
−cx^
)l是需要設計的矩陣，相比於開環狀態器，這個觀測器形成了閉環。
閉環狀態觀測器的穩定要好很多，一起來分析一下，定義誤差e=x
−x^e=x-\hat x
e=x−x^
，則：e˙=
x˙−x
^˙\dot e=\dot x-\dot
e˙=x˙−
x^˙，把兩個狀態方程帶入進去，有：
e ˙=
(a−l
c)e\dot e=(a-lc)e
e˙=(a−
lc)e
,那麼只要a−l
ca-lc
a−lc
的特徵值全部在頻域負半平面，那麼誤差最終肯定會收斂到零，而不論初始的誤差有多大。
怎樣可以讓a−l
ca-lc
a−lc
的特徵值全部在頻域負半平面呢，要滿足系統(a,c)能觀測。
1、根據期望的極點設計
( s−
λ1)(
s−λ2
)...
(s−λ
n)=0
(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)...(s-\lambda_n)=0
(s−λ1
)(s−
λ2)
...(
s−λn
)=0
，期望的極點等於a−l
ca-lc
a−lc
的特徵值。
2、實際中系統的狀態方程肯定是有誤差的，a這個狀態矩陣沒法得到，那麼怎麼解決？
step1、設計和a同維的矩陣f
step2、設計矯正矩陣l，使得系統(f,l)可觀測
step3、計算矩陣t，ta−
fa=l
cta-fa=lc
ta−fa=
lcstep4、新的狀態矩陣
z ˙=
fz+t
bu+l
yx^=
t−1z
\dot z=fz+tbu+ly\\ \hat x=t^z
z˙=fz+
tbu+
lyx^
=t−1
z只要f矩陣穩定，那麼誤差最終會減小到零。證明過程比較簡單，就不放了。
關於狀態觀測器本質的理解
前面我們提到過，觀測器有很多種，其中一種就是狀態觀測器，對系統的某一狀態進行觀測。但是在實際中我們會遇到一種情況 就是我們獲取的某一狀態就是系統的輸出，即y x，那為什麼此時我們還要設計觀測器呢，直接將獲取的輸出作為狀態值不行嗎？於是這就體現了狀態觀測器的本質 濾波。我們經常接觸的卡爾曼濾波器就是一...
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