劍指offer 42 連續子陣列的最大和題解

輸入乙個整型陣列，陣列裡有整數也有負數。陣列中的乙個或連續多個整數組組成乙個子陣列。求所有子陣列和的最大值。要求時間複雜度為o(n)。

最容易想到的方法就是列舉陣列的所有子陣列並求出它們的和。乙個長度為n的陣列，總共有n(n+1)/2個子陣列。計算出所有子陣列的和，最快也要o(n2)的時間。不符合題意。

分析陣列規律可得:

1、從頭到尾逐個累加陣列中的每個數字，初始化和為0；（sum =0，greatsum=array[0]）　　

2、首先加上第乙個數字，從第二個數字開始累加，依次將累加和儲存到乙個臨時變數（sum）中；　　

3、如果當前累加和（sum）小於0，那拋棄前面的子陣列和，從下乙個數字開始重新累加；相反，則將當前累加和（sum）與返回累加和（greatsum）進行比較，如果sum>greatsum，則更新greatsum。　　

這樣比較進行一次遍歷之後，就可以得到最終的最大累加和，時間複雜度是o(n)。

下圖展示了計算陣列中子陣列的最大和的過程：

;//陣列中全為負數的情況

for(int i =

0;i)else

if(sum > greatsum)

}return greatsum;

}}在對greatsum變數進行初始化的時候，並沒有初始化為0，而是初始化為陣列的第乙個數字，是為了避免當陣列全為負數的情況。

除了上面的解法，我們還可以用動態規劃的思想來分析這個問題。如果用函式f(i)表示以第i個數字結尾的子陣列的最大和，那麼我們需要求出max[f(i)]，其中0 <= i <= n。由狀態轉移方程ａ［ｊ］＝ｍａｘ（ａ［ｊ］，ａ［ｊ－１］＋ａ［ｊ］），我們可以用如下遞迴公式求f(i)：

f(i) = pdata[i] i = 0或者f(i-1) <= 0

f(i) = f(i-1) + pdata[i] i 不等於 0並且f(i-1) > 0

這個公式的意義：

當以第i-1個數字結尾的子陣列中所有數字的和小於0時，如果把這個負數與第i個數累加，則得到的結果比第i個數字本身還要小，所以這種情況下以第i個數字結尾的子陣列就是第i個數字本身。

如果以第i-1個數字結尾的子陣列中所有數字的和大於0，則與第i個數字累加就得到以第i個數字結尾的子陣列中所有數字的和。

雖然通常我們用遞迴的方式分析動態規劃的問題，但最終都會基於迴圈去編碼。

上述公式對應的**與前面給出的**類似。遞迴公式中的f(i)對應的變數是「累加子陣列和」sum，而max[f(i)]就是「最大子陣列和」greatsum。因此，可以說這兩種思路是異曲同工的。

[1] 《劍指offer(第二版)》何海濤著

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