字串Hash入門例題詳解

最近打暑假多校，發現有許多字串演算法自己有所遺忘，今天就藉著補題在這開乙個坑，把那幾個基礎的字串演算法總結複習一下，順便寫幾個模板，供今後使用。這篇部落格主要就是總結一下字串hash，並提一下例題。

我們學習乙個演算法，肯定要先知道它要解決的是什麼問題。字串hash，就是解決字串匹配問題的良藥，即尋找長度為 n 的主串 s 中的匹配串 t(長度為 m)出現的位置或次數問題。

對於上述問題，樸素的想法是列舉 s 所有起始位置，再直接檢查是否匹配，我們可以不使用 o(m) 的直接比較字串的方法，而是比較長度為 m 的主串 s 的子串的雜湊值與 t 的雜湊值是否相等，這就是雜湊演算法解決這類問題的原理，這個原理稱為字串 hash。

大多數字串 hash 問題可以用 kmp 求解，但如果是從主串中每次選出兩個子串判斷是否匹配的問題，還是要用字串 hash 求解（不必糾結，遇到自然懂）。

如果我們用 o(m) 的時間計算長度為 m 的字串的雜湊值，則總的時間複雜度並沒有改觀，這裡就需要乙個叫做滾動雜湊的優化技巧。

我們選取兩個合適的互質常數 b 和 h(b1c

2…cm ，那麼我們定義雜湊函式：h(c)=(c1bm-1 + c2bm-2 + … + cmb0) mod h。

正常的數字是十進位制的，這裡b 是基數，相當於把字串看作是 b 進製數。

這一過程是遞推計算的，設 h(c,k) 為前 k 個字元構成的字串的雜湊值，則：(以下均不考慮取模的情況)。

h(c,k+1) = h(c,k)*b + ck+1

如字串 c=「acda」（為方便處理，我們令"a"表示 1，"b"表示 2，以此類推），則:

h(c,1) = 1

h(c,2) = 1*b + 3

h(c,3) = 1*b

2 + 3*b + 4

h(c,4) = 1*b

3 + 3*b

2 + 4*b + 1

**實現如下

h[0]
=0;for
(int i=
1;i<=
4;i++
)    h[i]
=h[i-1]
*b+(c[i]
-'a'+1
);

通常，題目要求的是判斷主串的一段字元與另乙個匹配串是否匹配，即判斷字串 c=c1c2…cm 從位置 k+1 開始的長度為 n 的子串 c』=ck+1ck+2…ck+n 的雜湊值與另一匹配串 s=s1s2…sn 的雜湊值是否相等，則：

h(c』) = h(c,k+n) - h(c,k)*bn

於是我們只要預處理求得 b^n ,就能在 o(1)時間內得到任意字串的子串雜湊值，從而完成字串匹配，那麼上述字串匹配問題的演算法時間複雜度就為 o(n+m)。

**實現如下

for
(int i=
0;i<=m-n;
++i)

如字串 c=「acda」,s=「cd」,當 k=1, n=2 時：

h(c』) = h(c,1+2) - h(c,1)*b2

= (1*b2+3*b+4) - (1*b2)

= 3*b + 4

h(s) = 3*b + 4

因此子串 c』與匹配串 s 匹配。

在實現演算法時，可以利用 32 位或 64 位無符號整數計算雜湊值，此時 h=232 或 h=264，通過自然溢位省去求模運算。(因為無符號整數，大於最大值後會以最大值+1為模數取模)

注1：眾所周知，hash演算法有時會產生衝突，但是在一般比賽中用字串hash產生衝突的概率是很小的，如果發現錯了，可以換個基數或模數，或者採用「雙雜湊」來避免衝突。

注2：我們在預處理 b^n 時，要根據題目來選擇預處理方式（雖然一般不會卡這個），如果只有一組輸入，匹配串長度固定，那麼利用快速冪求即可。如果有多組輸入，每組匹配串長度皆不同，遞推更好一些。

遞推**

pow[0]
=1;for
(int i=
1;i<=
10002
;i++
)//預處理base^n
pow[i]
=pow[i-1]
*base;

oulipo(poj3461)

題目大意

給出兩個串 s

1，s2(只有大寫字母)，求 s

1 在 s

2 **現了多少次。例如 s

1=「aba」,s

2=「ababa」,答案為 2。輸入 t 組資料，對每組資料輸出結果。每組資料保證 strlen(s

1) <= 10

4,strlen(s

2) <= 10

6。 解題思路

將匹配串 s

1 的雜湊值求出來，再將母串 s

2 的雜湊值求出來，根據 h(c』) = h(c,k+n) - h(c,k)*b

n求出與匹配串長度相等的母串子串的雜湊值，與匹配串 s

1 的雜湊值比較，如果相等，答案+1。

**實現

/**
快速冪預處理，取模
跑了 813ms
*/#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn=
1e6+5;
const
int maxm=
1e4+5;
const
int base=29;
const
long
long mod=
1e7+5;
int n;
char w[maxm]
,t[maxn]
;long
long
quickpow
(long
long a,
int b)
//快速冪
return sum;
}int
main()
if(hashw==hasht)
ans++
;long
long cnt=
quickpow((
long
long
)base,lenw-1)
;//預處理b^n
for(
int i=lenw;i++i)
//t向後找子串去和w比較
printf
("%d\n"
,ans);}
return0;
}

/**
遞推預處理，未取模
跑了 235ms
*/#include
#include
#include
#include
#include
typedef
unsigned
long
long ull;
using
namespace std;
const
int maxn=
1e6+5;
const
int maxm=
1e4+5;
const
int base=29;
ull pow[maxm]
;char w[maxm]
,t[maxn]
;ull hasht[maxn]
;int n;
ull hashs;
int ans;
void
init()
intmain()
printf
("%d\n"
,ans);}
return0;
}

字串hash，在比賽中還是經常出現的，因為用map可能會tle或者mle。在一些題目裡，是作為某一關鍵的步驟。所以，多練多用，才能熟能生巧，在比賽中靈活運用。

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