動態規劃與遞迴

這裡借用leetcode的一道例題，來說一下動態規劃和遞迴的區別

給定乙個三角形，找出自頂向下的最小路徑和。每一步只能移動到下一行中相鄰的結點上。

相鄰的結點在這裡指的是下標與上一層結點下標相同或者等於上一層結點下標 + 1 的兩個結點。

例如，給定三角形：

[[2],

[3,4],

[6,5,7],

[4,1,8,3]

]自頂向下的最小路徑和為 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

說明：如果你可以只使用 o(n) 的額外空間（n 為三角形的總行數）來解決這個問題，那麼你的演算法會很加分。

這種問題，一看就知道遞迴最簡單了，但是這種遞迴方法其實就是一種暴力的全遍歷破解，**如下

//！遞迴函式
int recursive(vector>& ********, int ivecindex, int iinnerindex)
return min(recursive(********, ivecindex + 1, iinnerindex),
recursive(********, ivecindex+1, iinnerindex + 1)) + ********[ivecindex][iinnerindex];
}//！呼叫主函式
int minimumtotalrec(vector>& ********) 
return 	recursive(********, 0, 0);
}

遞迴的方式既簡單，又容易理解，recursive引數為陣列，一級陣列的序列，二級陣列中的序列。每呼叫一次就求得此位置到最終位置的最小和，終止條件為

遞迴條件為：sum(a[m][n]) = min(sum(a[m+1][n]), sum(a[m+1][n+1])) + a[m][n];

終止條件：n == ********.size時（到達最底層時），直接返回此值。

當然遞迴帶來的***很明顯，效率太低，多次重複遞迴，

例如:sum(a[4][2]) = min(sum(a[5][2]), sum(a[5][3)) + a[4][2];

sum(a[4][3]) = min(sum(a[5][3]), sum(a[5][4)) + a[4][3];

sum(a[4][4]) = min(sum(a[5][4]), sum(a[5][5)) + a[4][4];

上面時遞迴過程，很明顯sum(a[5][3])和sum(a[5][4])重複遞迴兩次，很明顯我們遞迴了一些多餘的資訊。

這種情況如何去除冗餘呢？

動態規劃應運而生，當子問題是父問題的解時，父問題由乙個個子問題組成時，就用到了動態規劃，與遞迴從頂到下的邏輯不同的時，動態規劃是自底向上求解問題，每求得乙個結果又可以組成上一級的結果，最終求得最優解，由於其自底向上，就保證了不會有多餘的操作產生。那麼下面就看一下解決此問題的動態規劃演算法：

//！動態規劃
int minimumtotal(vector>& ********) 
vectorvectotal(ivecsize, 0);
vectotal[0] = ********[0][0];
//！正向規劃
for (int iindex = 1; iindex < ivecsize; iindex++)
vectotal[0] += ********[iindex][0];
}	int iminvalue = vectotal[0];
for (int ilastindex = 1; ilastindex < vectotal.size(); ilastindex++)		}
return iminvalue;
}

上述演算法，每次迭代的對應著從第一行到第n行各個點的最小距離，而到第n+1行的距離又可以通過到第n行的最短距離求得，依次迭代，知道迭代到最後一行，此時就求的從第1行到最後一行的各個點最短距離，此時只要求出最小值就可以得出所求解。

動態規劃與遞迴

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