1.z=f(x
2x^2
x2-y
2y^2
y2,cos xy),f具有一階連續偏導數，x=rcos θ,y=rsin θ,求dzd
r\frac
drdz,dzd
θ\frac
dθdz
一階偏導數其實就是看鏈式求導法則
令u=x
2x^2
x2-y
2y^2
y2,v=cos xy
dzd
r\frac
drdz
的值為下面四項相加
z->u->x->r
z->u->y->r
z->v->x->r
z->v->y->r
dzd
θ\frac
dθdz
的值為下面四項相加
z->u->x->θ
z->u->y->θ
z->v->x->θ
z->v->y->θ
這裡我們可以用
f』1來替代f』u
這樣一來就比較好計算了
d zd
r\frac
drdz=dzd
u\frac
dudzdud
x\frac
dxdudxd
r\frac
drdx+dzd
u\frac
dudzdud
y\frac
dydudyd
r\frac
drdy+dzd
v\frac
dvdzdvd
x\frac
dxdvdxd
r\frac
drdx+dzd
v\frac
dvdzdvd
x\frac
dxdvdxd
r\frac
drdxdzd
θ\frac
dθdz=dzd
u\frac
dudzdud
x\frac
dxdudxd
θ\frac
dθdx+dzd
u\frac
dudzdud
y\frac
dydudyd
θ\frac
dθdy+dzd
v\frac
dvdzdvd
x\frac
dxdvdxd
r\frac
drdx+dzd
v\frac
dvdzdvd
x\frac
dxdvdxd
θ\frac
dθdx
答案
d zd
r\frac
drdz
=2dzd
u\frac
dudz
(xcosθ-ysinθ)-dzd
v\frac
dvdz
sinxy(ycosθ+xsinθ）
d zd
θ\frac
dθdz
=-2rdzd
u\frac
dudz
(xsinθ+ycosθ)+rdzd
v\frac
dvdz
sinxy(ysinθ-xcosθ）
或者是dzd
r\frac
drdz
=2rf』1(xcosθ–ysinθ)-f』2sinxy(ycosθ+xsinθ）
d zd
θ\frac
dθdz
=-2rf』1(xsinθ+ycosθ)+rf』2sinxy(ysinθ-xcosθ）
注意：當求二階導數時，注意求導順序，一般情況下d2z
dxdy
\frac
dxdyd2
z=d 2z
dydx
\frac
dydxd2
z,當然求導第二次也是遵循鏈式求導法則還有就是(xyz)』=x』yz+xy』z+xyz』,f中繼續求導，也就是二階導數時，下標和上標同時改變f』1->第二位置求導->f』1
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