人智導（五） 對抗搜尋與博弈

對抗搜尋(adversarial search)源於博弈(game playing)

博弈問題定義為搜尋問題：

下圖為井字棋遊戲的博弈樹（utility值針對的是max棋手，min的值正好相反）

博弈樹較小，9!=

362880

9!=362880

9!=362

880個結束狀態，對於西洋棋等現實問題來說很小

資源有限的條件下搜尋盡可能多的節點（而非所有）以決定棋手如何行棋（最佳還是合理？）

演算法思路：

m in

imax

(s)=

utility(s) & if~terminal-test(s)\\ max_minimax(result(s,a)) & if~player(s)=max\\ min_minimax(result(s,a)) & if~player(s)=min \end

minima

x(s)

=⎩⎪⎨

⎪⎧​u

tili

ty(s

)max

a∈ac

tion

s(s)

​min

imax

(res

ult(

s,a)

)min

a∈ac

tion

s(s)

​min

imax

(res

ult(

s,a)

)​if

term

inal

−tes

t(s)

ifpl

ayer

(s)=

maxi

fpla

yer(

s)=m

in​示意圖：

演算法：

function minimax_decision(state) returns an action

return arg max min-value(result(state,a))

function max-value(state) returns a utility value

if terminal-test(state) then return utility(state)
v for each a in actions(state) do
v return v

function min-value(state) returns a utility value

if termianl-test(state) then return utility(state)
v for each a in actions(state) do
v return v

遞迴演算法（自上而下至葉子節點，通過樹把各節點minimax值回傳）

完善博弈樹的深度優先(depth-first)搜尋過程

時間複雜度：o(b

m)o(b^m)

o(bm

)空間複雜度：o(b

m)o(bm)

o(bm

)為什麼需要裁剪：

如圖：

解釋：

function alpha-beta-search(state) returns an action

v return the action in actions(state) with value v

function max-value(state, alpha, beta) returns a utility value

if terminal-test(state) then return utility(state)
v for each a in actions(state) do
v if v >= beta then return v
alpha 
return v

function min-value(state, alpha, beta) returns a utility value

if terminal-test(state) then return utility(state)
v for each a in actions(state) do
v if v <= alpha then return v
beta 
return v

\alpha -\beta

α−β剪枝效果很大程度上依賴於狀態節點被探查的次序。

演算法：

function alpha-beta-search(state) returns an action

v return the action in actions(state) with value v

function max-value(state, alpha, beta) returns a utility value

if cutoff-test(state,depth) then return eval(state)
v for each a in actions(state) do
v if v >= beta then return v
alpha 
return v

function min-value(state, alpha, beta) returns a utility value

if cutoff-test(state,depth) then return eval(state)
v for each a in actions(state) do
v if v <= alpha then return v
beta 
return v

非「零和」方式，也可以是共贏方式

博弈不僅限於2-players，也可以是n-players

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