線性規劃（linear programming,簡稱lp）是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較為成熟的乙個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。研究線性約束條件下線性目標函式的極值問題的數學理論和方法。線性規劃中普遍存在配對現象，即對每乙個線性規劃問題，都存在另乙個與它有密切關係的線性規劃問題，其中之一稱為原問題，而另乙個稱它的對偶問題。這篇部落格提到的對偶理論（duality theory）就是研究線性規劃中原始問題與對偶問題之間關係的理論。
對偶理論自2023年提出以來，已經有了很大發展，現在關於線性規劃的一般著作都包含這部分內容，它已成為線性規劃的必不可少的重要基礎理論之一。
1.1 對偶問題的表達
線性規劃中的對偶可以概括為三種形式。
(1)對稱形式的對偶
設原問題為：
min cx
s.t. ax >= b,
x>= 0
則對偶問題為：
max wb
s.t. wa <= 0,
w>=0
其中a=(p1,....,pn)是m*n矩陣，b=(b1,......,bm)
t是m維列向量，c=(c1,.......,cn
)是n維行向量. x =(x1,.......,x2)t
是由原問題的變數組成的n維列向量，w=(w1,......,wm)是由對偶問題的變數組成的m維行向量。
在原問題中，目標函式是c與x的內積，ax>=b包含m個不等式約束，其中每個約束條件記作
aix>=bi.
ai是a的第i行，變數xj有非負限制。
在對偶問題中，目標函式是b與w的內積，wa<=c包含n個不等式約束，每個約束條件記作
wpi<= cj，
對偶變數wi也有非負限制。
根據對稱對偶的定義，原問題中約束條件aix>=bi
的個數恰好等於對偶變數的個數，原問題中變數的個數，恰好等於對偶問題中約束條件wa<=c的個數。
按照上述定義，很容易寫出乙個線性規劃問題的對偶問題。
例如：設原問題是：
則其對偶問題按照上述的定義可以寫成
(2)非對稱形式的對偶
在上述對稱形式的對偶中我們考慮的約束條件為不等式約束條件，這裡我們對等式約束條件下的對偶問題稱為非對稱形式的對偶。但是對偶問題的變換方式和上述類似，只需稍微的變換一下，如下所示。設原問題為：
min cx
s.t. ax = b,
x>=0
這裡稍加變換就可以寫成對稱形式的等價如：
min cx
s.t. ax >= b,
-ax >= -b,
x>= 0
按照對稱形式的策略，此時的對偶問題為：
max ub-vb
s.t. ua- va <=c，
u,v>=0.
令w=u-v ,顯然w沒有非負限制，於是得到
max wb
s.t. wa<=c.
這裡也給出個例子如下：
它的對偶問題是：
(3)一般情形
結合等式約束和不等式約束條件的問題就是第三種一般情形。
設原問題為
min cx
s.t. a1x >=b，
a2x = b2，
a3x <= b3，
x>=0，
其中，a1是m1*n矩陣,a2是m2*n矩陣，a3是m3*n矩陣，b1,b2和b3分別是m1維，m2維和m3維列向量，c是n維行向量，x是n維列向量。
對上述問題進行變換，引入鬆弛變數得：
min cx
s.t. a1x – xs =b1,
a2x = b2,
a3x + xt = b3，
x, xs, xt >= 0，
其中，xs是有m1個鬆弛變數組成的m1維列向量，xt是有m3個鬆弛變數組成的m3維列向量，上述問題即
根據非對稱形式對偶變換方法得到：
即
其中w1,w2和w3分別是由變數組成的m1維，m2維和m3維行向量。
原問題中的約束a1x>=b1所對應的對偶變數w1有非負限制，a2x=b2所對應的對偶變數w2無正負限制，a3x<=b3所對應的對偶變數w3有非正限制。
1.2 對偶問題的基本定理
定理1.1(弱對偶定理)
設x(0)是原問題max z=cx，ax≤b，x≥0的可行解
y(0)是其對偶問題minw=yb，ya≥c，y≥0的可行解
則 cx(0)
≤y(0)
b。定理1.2(最優性定理)
設x(0)是原問題max z=cx，ax≤b，x≥0的可行解，
y(0)
是其對偶問題min w=yb，ya≥c，y≥0的可行,
若cx(0)
=y(0)
b,則x(0)
、y(0)
分別是它們的最優解。
定理1.3(對偶定理)
若原問題max z=cx，ax≤b，x≥0有最優解，
則其對偶問題min w=yb，ya≥c，y≥0 一定有最優解，且二者的目標函式值相等。
定理1.4(互補鬆弛定理)
原問題max z=cx，ax≤b，x≥0及其對偶問題minw=yb，ya≥c，y≥0 的可行解x（0
）、y(0)
是最優解的充要條件是
y(0)
xs = 0 ；
ysx(0)
= 0其中, xs、ys分別是原問題鬆弛變數向量和對偶問題剩餘變數向量。
對偶理論入門
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