演算法 動態規劃篇 第5節 剪繩子問題

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"""

剪繩子問題
給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段（m,n都是整數），每段繩子的
長度記為k[0],k[1],k[2]…. 請問如何剪繩子使得k[0],k[1],k[2]
的乘積最大
例如 繩子長度8 最大乘積18 = 2*3*3
輸入：n=8
輸出：18
"""

乙個模型：

三個特徵：

無後效性：

最優子結構：

綜上所述，本問題滿足乙個模型、三個特徵，所以可以使用動態規劃來求解。

當然，凡是能用動態規劃解決的問題，都可以用回溯思想來暴力求解，具體實現**在文末給出，更多關於回溯思想的應用，可以參照：【演算法】【回溯篇】第7節：0-1揹包問題

1. 動態規劃解法

class

solution()
:def
dp(self, n)
:"""
使用動態規劃求解剪繩子問題，思路：維護乙個長為n的陣列，自底向上求解最優值！！！
:param n: 繩子長度
:return: 最大乘積值
"""if n <2:
# 長度為1，無法剪
return
0if n ==2:
# 長度為2，只能剪成1*1
return
1if n ==3:
# 長度為3，剪成2*1 > 1*1*1
return
2        res =[-
1]*(n +1)
# 初始化陣列
res[0]
=1# 約定f(0)=1
for i in
range(1
, n +1)
:# 依次計算f(1)--f(8)
res[i]
=max([
(j +1)
* res[i - j -1]
for j in
range
(i)]
)return res[-1
]def
main()
:    n =
8    client = solution(
)print
(client.dp(n)
)if __name__ ==
'__main__'
:    main(
)

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class

solution()
:def
trackback
(self, n)
:"""
使用回溯法求解剪繩子問題
:param n: 繩子長度
:return: 最大乘積值
"""if n <2:
# 長度為1，無法剪
return
0if n ==2:
# 長度為2，只能剪成1*1
return
1if n ==3:
# 長度為3，剪成2*1 > 1*1*1
return
2        self.max_v = n  # n大於0，所以初值設為n
self.helper(n,1)
# 回溯暴力求解
return self.max_v
defhelper
(self, n, v)
:"""一次遍歷完所有可能"""
if n ==0:
# 當繩長為0時進行結算
if self.max_v < v:
self.max_v = v
return
for i in
range(1
, n +1)
:# 每次分段的長度介於[1, n]
self.helper(n - i, v * i)
defmain()
:    n =
8    client = solution(
)print
(client.trackback(n)
)if __name__ ==
'__main__'
:    main(
)

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題目 給你一根長度為n繩子，請把繩子剪成m段 m n都是整數，n 1並且m 1 每段的繩子的長度記為k 0 k 1 k m k 0 k 1 k m 可能的最大乘 積是多少？例如當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2 3 3的三段，此 時得到最大的乘積18。1 動態規劃 因為不知道剪在哪個位置是...

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