周二週三真的太難了，有早課導致不能熬夜，於是就只能趁著中午的時間寫一寫，這幾天先寫點簡單的東西，就當重新複習了，應該算是給初學者的知識普及，其他的過了週三再說。
首先來講一下樹的重心。
樹的重心，即 樹上到所有點的距離之和最小/以此為根深度最小/最大子樹大小最小 的點，具有很多方便的性質，如：
1.當一棵樹新增/刪除乙個節點，樹的重心最多移動乙個位置。（動態維護）（19icpc徐州m題，so~no~chi~no~sa~da~me~）
2.當兩棵樹通過某點連線在一起形成新樹時，新樹的重心一定在連線兩棵舊樹重心的路徑上。（兩樹合併）
3.以一顆樹的重心為根，劃分的子樹大小一定不超過原樹的一半。（樹分治）
眾所周知，回字有四種寫法，門前有兩棵棗樹，重心也有兩種求法（通常情況下），一種是兩遍dfs找樹上最長路徑的中點，一種就是今天要講的內容——樹形dp之換根法。
首先，初始是不知道重心所在的，最直接的方法就是列舉每個點作為重心的情況。由上面重心的定義可以知道，重心一定是最大的子樹大小最小的點。因此，我們不妨先把1
11作為根，設s[i
]s[i]
s[i]
為以1
11為根時子樹i
ii的大小，根據dfs的性質，子樹遍歷結束的時候，其s[i
]s[i]
s[i]
也被更新完了，所以，一次從1
11開始的dfs就可以求出所有點的子樹大小。
如果我們用f[i
]f[i]
f[i]
來表示以i
ii為根的最大子樹大小，根據上述演算法，dfs結束後可以求出f[1
]=ma
x(s[
son]
)f[1]=max(s[son])
f[1]=m
ax(s
[son
])。此時，如果根從1
11換到了1
11的子節點上，f[i
]f[i]
f[i]
該如何變化呢？
f [i
]=ma
x(s[
son]
,n−s
[i])
f[i]=max(s[son],n-s[i])
f[i]=m
ax(s
[son
],n−
s[i]
)這裡滿足了動態規劃的三要素：狀態、邊界條件、轉移方程。
更具體地說，要在樹上所有的點中找到滿足條件的根，就要確定隨根變化的資料（狀態）、初始當根為1
11的情況（邊界條件）、根從上往下移動的變化**移方程）。
來一道題感受一下：
cf1187e tree painting
題意：給定一棵所有結點初始為白色的樹，第一回合選擇任意乙個白點塗黑，接下來每次都選和黑點鄰接的白點塗黑，每次（包括第一次）選點時會獲得這個點所在的白點連通塊大小的分數，求可能獲得的最大分數。
這就是換根法的直接應用了。第乙個塗黑的點就相當於選乙個根，然後沿著根往下走。假設以1
11為根，s[i
]s[i]
s[i]
表示i
ii的子樹大小，1
11為根時的答案ans
1ans_1
ans1
即為∑i=
1ns[
i]
\sum_^ns[i]
∑i=1n
s[i]
。當根由u
uu變為v
vv時，ans
v=an
su−s
[v]+
(s[1
]−s[
v])=
ansu
−2∗s
[v]−
s[1]
ans_v=ans_u-s[v]+(s[1]-s[v])=ans_u-2*s[v]-s[1]
ansv=
ansu
−s[
v]+(
s[1]
−s[v
])=a
nsu
−2∗s
[v]−
s[1]
。a ns
ians_i
ansi
的最大值就是答案。
#include
#define n 200010
#define ll long long
using
namespace std;
int n;
vector<
int> g[n]
;ll sum[n]
,ans,s;
void
dfs1
(int u,
int fa)
s+=sum[u];}
void
dfs2
(int u,
int fa,ll s)
intmain()
dfs1(1
,0);
dfs2(1
,0,s);
cout<}
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