本篇部落格講解一下 xy 的因子數，因子和的求解問題。
首先根據算術基本定理(唯一分解定理)將 x 進行質因數分解：
x = p1
c1 × p2
c2 × ··· × pn
cn則 x 的正因數可以表示為： (0 ≤ bi ≤ ci)
每個 bi 有 ci + 1 種取法，根據乘法原理可得 x 的正因數個數為(π為連乘積符號)：
(c1 + 1) × (c2 + 1) × ··· × (cn + 1) = πi=1
n (ci + 1)
x 的所有正因數之和為:
(1 + p1 + p1
2 + ··· + p1
c1) × (1 + p2 + p2
2 + ··· + p2
c2) × ··· × (1 + pn + pn
2 + ··· + pn
cn) = πi=1
n ( ∑j=0
ci pi
j )解釋如下：
p1c1
的因數有: p1
0, p1
1, p1
2, …, p1
c1… …
pncn
的因數有: pn
0, pn
1, pn
2, …, pn
cn而 x 的因數就是在 p1
c1, p2
c2, …, pn
cn 的因數中各取乙個然後相乘得來，再由乘法原理得到上式。
經過上面的論述，同理可得：
xy = (p1
c1 × p2
c2 × p3
c3 × … × pn
cn) y
xy 的正因數個數為:
(yc1 + 1) × (yc2 + 1) × ··· × (ycn + 1) = πi=1
n (yci + 1)
xy 的所有正因數之和為:
(1 + p1 + p1
2 + ··· + p1
yc1) × (1 + p2 + p2
2 + ··· + p2
yc2) × ··· × (1 + pn + pn
2 + ··· + pn
ycn) = πi=1
n ( ∑j=0
yci pi
j )至於計算，快速冪 + 等比數列求和公式 ( + 逆元 + 快速乘) 即可。
相關題目會後續更新。
如有錯誤或不足希望大家能夠及時指出，謝謝。
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