用C 解決約瑟夫環的問題

猶太歷史學家弗拉维奧·約瑟夫在他的日記中提到過這麼乙個問題：他和他的40個戰友被羅馬軍隊包圍在洞中。它們討論是自殺還是投降，最終決定採用抽籤的方式決定自殺的順序。演算法是這樣的：所有人站成一圈，依次報數從1到3，每報到3的則自殺，下乙個再從1開始報數。這樣，所有人會依次自殺，直到最後乙個。那最後乙個死不死又有誰知道呢？那麼站的位置就顯得很重要了，到底站在哪個位置才能最後乙個死呢？這便衍生成了乙個計算機中的演算法問題。

為了更加突出的說明這一問題，請看下面的圖，改圖內圈數字表示站立下標，外圈數字表示死亡順序。

可見當有10個人，報數為3的人死亡時，站在4號位的最後可以存活。這一問題可以模擬到電腦程式中。

解決思路：首先很容易想到的便是採用鍊錶的方式來處理，有乙個首位相連的鍊錶，每個節點裡面儲存了自己的下標並指向下乙個節點的位址，最後乙個節點指向首節點。根據這一思路，我們可以先建立乙個約瑟夫環如下**：

struct jospher};
//先定義乙個結構體（類）儲存每個節點的資訊
void
creatring
(jospher* head,
int ringsize)
pointer-
>next = head;
//最後將首節點放入末尾構成環
}

以上**成功的構建了乙個約瑟夫環，現在將模擬死亡順序，我們需要兩個可移動的指標，用來依次殺掉報到3的人（刪掉對應的節點），可以參考下一幅圖：

我們知道，報數是1，2，3，1，2，3…依次迴圈的，因此第一輪的報數是直接從1開始加，如圖中的步驟1號指標（紅色）指向首節點，2號指標（藍色）指向其下乙個節點，1報完之後是2，2正常，因此，將藍色指標向後移動一位，紅色指標也向後移動一位。再到3號報數，同樣地，先將藍色指標向後移動一位（此時指向4），再將此時的藍色指標存入紅色指標的next裡面，再刪掉3節點，那麼第乙個刪除就完成了。依此類推可以逐個刪掉直至最後一名存活者。值得注意地是，當只剩最後乙個存活者時，它的next指向的是它本身。因此用**實現如下：

void
killnode
(jospher* head,
int killsize)
else
}    cout <<
"the victor is: " first-
>index -1;
//迴圈結束後剩下的節點即為存活的節點,下標要減1
}

最後，稍微測試一下這個鍊錶：

int
main()

輸出結果：

最後是下標為3即站在4號位的人存活。

以上便是採用鍊錶解決這個問題的方法，以上**的時間複雜度為o(mn)，即n個人，死亡號碼為m，當n足夠大時便顯現出了**的不足。因此我們還可以採用公式法來遞推。觀察以下**：

從上表可以看出4號位也就是下標為3的人存活。公式可以歸納如下：

f(n) = (f(n - 1) + m) % n,該公式表示，當剩餘n（假設為10）個人時，此場景的存活下標為剩餘n-1（即9）人時的存活下標加上報數迴圈長度（3）除以當前人數n（即10）的餘。很明顯，這是個遞迴公式，可以很簡單的用程式寫出來。問題是，這個公式是怎麼來的？

可以想象，當已知n為10時，存活的下標肯定為3。當殺掉乙個人之後（即剩9個人）這時，存活下標一定是當前下標往前推3（乙個迴圈），即為0（不信可以用鍊錶**驗證以下）。再死乙個人時，再往前推3（即8， 7， 6），下標為6，依次類推。直至只剩1個人時的下標一定是0.因此可以用遞迴法反向推出。**如下：

int
jospherring
(int ringsize,
int killindex)

輸出結果與鍊錶法一致。

由此可見公式遞迴法比鍊錶法來的要簡單的多。但是它仍然有乙個弊端，那就是該程式無法知道死亡的次序，而鍊錶法則可以得出依次死亡的次序（只需在delete要刪除的節點之前將其中的index減1即可）。如下面輸出結果：

以上兩種方法各有各的使用場景，選擇最合適的即可！

用C 解決約瑟夫環的問題

c 解決約瑟夫環問題

約瑟夫環問題的解決

約瑟夫環問題的解決

用C 解決約瑟夫環的問題

c 解決約瑟夫環問題

約瑟夫環問題的解決

約瑟夫環問題的解決

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