模擬退火演算法
爬山演算法是一種基於貪心的搜尋方法，其原理是每次前往最佳的相鄰狀態。由於一般的搜尋問題無法看作結點數有限的圖，因此這裡的相鄰其實不是圖的那種相鄰。
以搜尋二維平面上的乙個點為例。設 f(x
,y
)f(x, y)
f(x,y)
表示座標為 (x,
y)
(x, y)
(x,y
) 的點的權值，現在要找到乙個 (x,
y)
(x, y)
(x,y
) 使得 f(x
,y
)f(x, y)
f(x,y)
最大。使用爬山演算法解決這個問題的方法如下：
隨機乙個點 (x0
,y0)
(x_0, y_0)
(x0,y
0) 作為起始點；
找到與當前點的距離為 l
il_i
li 的點中 f
ff 最大的點，如果它的權值不及當前點，則把當前點作為答案返回；
重複步驟 2，直到在步驟 2 中返回。
這裡有幾個問題：
距某點 l
il_i
li 的點有無窮多個，怎麼找呢？事實上，應該將「找乙個圓周上的點」換成「在八個方向中找乙個點」；
l
il_i
li 取多少？一般而言，一開始 l
il_i
li 比較大，越到後面 l
il_i
li 越小；
爬山演算法通常會陷入區域性最優解，無法找到真正的全域性最優解。
上面的例子中，我們給定了乙個 f(x
,y
)f(x, y)
f(x,y)
，這是乙個顯式的評估函式。但很多問題中沒有給乙個顯式地評估函式，這時需要我們自己去構造。
例如，我們要使用爬山演算法解決 n
nn 皇后問題，我們就得自己設定乙個對局面的評估函式，比如可以設 h(x
)h(x)
h(x)
表示局面 x
xx 下能夠相互攻擊的皇后對的數量。顯然，若 h(x
)=
0h(x) = 0
h(x)=0
，則 x
xx 就是乙個解，我們可以使用爬山法去找估價函式的最小值點。
可見，與樸素的 dfs、bfs 不同，爬山演算法只保留當前局面，因此它能切實有效地節省記憶體。
往往，這意味著我們需要動態維護一些資訊，例如上面的 n
nn 皇后問題，我們能在放下皇后和移開皇后時用 o(1
)o(1)
o(1)
的時間複雜度計算估價函式的該變數，前提是我們要額外維護一些資訊。
對於上面說的 n
nn 皇后問題，考慮這樣的情況：假設我們定義「相鄰」為上下移動某一列的皇后進入的局面，完全有可能所有相鄰的局面都不滿足 h(x
)=
0h(x) = 0
h(x)=0
，這就是陷入了區域性最優解。可以在這時隨機移動幾個皇后，但這樣就有可能因為不斷進入區域性最優解而死迴圈，所以需要設定乙個這種操作的次數上限。
下面介紹幾種變種的爬山法。
從更好的相鄰局面中以優秀程度為概率隨便選乙個。這種方法可能會緩解陷入區域性最優解的問題。
隨機找鄰居，轉移到第乙個遇到的更好的鄰居。這種方法適用於兒子（鄰居）太多的情況。
如果失敗了就再來一次。這種方法好，它幾乎是完備的（如果目標總能被找到，則稱演算法是完備的）。
相比隨機重啟爬山法，我們選擇一開始就讓 k
kk 個爬山演算法同時執行，並且它們相互之間還能傳遞資訊。假設這 k
kk 個當前局面共有 m
mm 個鄰居，我們就在這 m
mm 個鄰居中選 k
kk 個最好的作為這 k
kk 個爬山演算法的新局面。這個方法看上去能很快找到最優解，但它很容易一起陷入區域性最優解，並不太好。在此基礎上可以引出遺傳演算法。由於遺傳演算法好像暫時不太實用，所以這裡就不記了。
模擬退火演算法可以看作是爬山演算法的改進，也可以看作是受退火的啟發而發明的演算法。退火：加熱金屬然後使其慢慢冷卻，讓金屬原子重排使得能量最低。如果貿然降低溫度，可能重排得不好，能量不是最低的，所以要緩緩降溫。（這個解釋不具專業性，不保證正確性）
考慮這樣的事情：每次我們都隨機遊走，這樣，我們的演算法總是完備的，但不能在有限時間內得出解。將隨機遊走與爬山演算法相結合，我們就能得到模擬退火演算法。
隨機乙個局面 x
0x_0
x0 作為起始局面；
隨機乙個鄰居 xi+
1x_
xi+1
。這個鄰居與 x
ix_i
xi 的「距離」應該隨著「時間」（操作次數）的推移而減小。當這個鄰居已經是最優解，或者時間過長，則退出；
如果鄰居比當前局面更優，則跳到鄰居，否則，以一定概率跳到鄰居。然後回到步驟 2。
這裡有幾個問題：
距離是什麼？距離可能可以很抽象，這裡只舉乙個形象的位置，就是二維平面上兩點的歐幾里得距離；
距離減少應該服從什麼規律？可以選擇每次乘以 ρ(0
<
ρ<1)
\rho \pod
ρ(0<
ρ<1)
；「一定概率」是多少？
這裡的一定概率一般不亂設定。我們可以設估價函式，假設我們要找估價函式的最小值點，則可以注意到 h(x
i)−h
(xi+
1)
<
0h(x_i) - h(x_) < 0
h(xi)
−h(x
i+1
)<
0，我們取概率為：
p
(即使鄰居更差也跳到鄰居)=
eh(x
i)−h
(xi+
1)
tp(\text) = \mathrm e^)}}
p(即使鄰居更差也跳到鄰居)=
eth(
xi)
−h(x
i+1
)其中，t
tt 是「溫度」，隨著時間的推移會越來越小，可以就取跳躍步長。可以發現，隨著 t
tt 的不斷減小，我們越來越不可能跳到更差的鄰居，也就是說溫度越低，我們的狀態也就越穩定了。而在開始時，溫度很高，我們有很多機會跳離區域性最優解。具體實現時，可以使用 c++ 的二項分布std::binomial_distribution來生成決策，比較方便。
與爬山演算法相比，模擬退火演算法的隨機體現在兩方面。一是隨機選鄰居，二是隨機跳到更差的鄰居。
與爬山法類似，使用隨機重啟模擬退火使得演算法近乎完備。甚至可以嘗試使用多執行緒同時跑，只可惜 oj 不支援。注意使用多執行緒時的執行緒安全問題。
模擬退火 爬山演算法 模板
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