動態規劃 01揹包問題

參考：[[

01揹包問題描述：有編號分別為a,b,c,d的n=4件物品，它們的重量w分別是2,3，4,5，它們的價值v分別是3,4，5,6，每件物品數量只有乙個，現在給你個承重為m=8的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？總和是多少？

結題思路是把該問題分解為乙個乙個的小問題，一步步的通過小問題的最優解，最終得到大問題的最優解。在這個問題中有兩個維度的變數，一是揹包的容量m，二是物品的種類數n，假如m=1，只有一種物品 a，最優解是什麼，有a,b兩種物品是最優解是什麼？以此類推。

1.首先，當物品種類n一定時，揹包容量越大，那麼最後的結果一定大於等於原來的值

2.其次，當揹包容量m一定時，物品種類n越多，最後的記過一定大於等於原來的值。

3.那麼，也就是說，我們想要求取的最大值也即是當m和n最大的時候的值。

假如當前有a和b兩種，m=1時，考慮a是否能夠放入，取得最大值，然後考慮a和b是否能放入，最終的情況可能只有a,或只有b或者ab都有。

對於b來說：

判斷b能否單獨放進揹包：

—如果不能，那麼備選為a,b時最大值，等於備選只有a時的最大值（因為b是放不進揹包的）。

—如果能，即b能夠放進去，還有兩種可能（即將b放進揹包，和不將b放進揹包），對這兩種可能性，要取最大值：

---------最終將b放進去(注：此時物品a是否被放進揹包是未知的，原因是：剩餘的揹包容量可能不足以放進物品a，即要在剩餘可選物品裡找出最優解。

---------最終沒有將b放進去（因為後面可能有比b更合適的物品放進去），此時最大值等於備選只有a時的最大值

引自原文

簡單來說我們要思考的是第i個物品是否放進揹包

c++**如下：

if
(j>=w[i]
)     dp[i]
[j]=
max(dp[i-1]
[j-w[i]
]+v[i]
,dp[i-1]
[j])
;//dp[i][j]儲存i個物品，容量為j時的最大值
else dp[i]
[j]=dp[i-1]
[j];

解題**如下：

#include
using
namespace std;
int m,n;
//n是物品種類數，m是揹包容量 
int w[
100]
,v[100];
long
long dp[
100]
[100];
intmain()
//上面的**可以計算出最值，輸出動態規劃表
for(
int i=
1;i<=n;i++) 
cout<[m];
return0;
}

求出最大值後我們還要找出最後那幾個物品被放進了揹包，用回溯的方法來尋找最後解，思路如下

首先，判斷dp[i][j]與dp[i-1][j-w[i]]+v[i]是否相等：

– 如果相等，則說明第i個物品沒有放進揹包，則繼續回溯(i-1,j)；、

– 否則就是進了揹包，則回溯到(i-1,j-w[i])

定義函式如下：

void
findmax
(int i,
int j)
else
if(j-w[i]
>=
0&& dp[i]
[j]==dp[i-1]
[j-w[i]
]+v[i]
)}

完整**：

#include
using
namespace std;
int m,n;
//n是物品種類數，m是揹包容量 
int w[
100]
,v[100];
int item[
100]
;//標記是否被選中 
long
long dp[
100]
[100];
//回溯最優解
void
findmax
(int i,
int j)
else
if(j-w[i]
>=
0&& dp[i]
[j]==dp[i-1]
[j-w[i]
]+v[i])}
//一直遍歷直到i=0為止 
}int
main()
//上面的**可以計算出最值，輸出動態規劃表
for(
int i=
1;i<=n;i++
)//尋找最優解並輸出 
findmax
(n,m)
;for
(int i=
1;i<=n;i++
) cout<<<
"  "
;return0;
}

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