問題描述：有n個物品，第i個物品的重量與價值分別為 w[i
]w[i]
w[i]
與 v[i]
v[i]
v[i]
且第i種物品最多有p[i]件。揹包容量為v，試問在每個物品不超過其上限的件數（物品必須保持完整）的情況下，如何讓揹包裝入的物品具有更大的價值總和。現有資料如下：
w =[2
,3,4
,5];
v =[3,
4,5,
6];p =[1
,1,1
,1];
// 結果與0-1揹包一樣。
v =8
;
i][j
]dp[i][j]
dp[i][
j]表示從編號1~i的物品中挑選任意數量的任意物品放入容量為j的揹包中得到的最大價值，那麼有 dp[
i][j
]=ma
xdp[i][j]=max\
dp[i][
j]=m
ax。
public
intknapsackproblem
(int
w,int[
] v,
int[
] p,
int cap)}}
return dp[w.length]
[cap]
;}
v∑p[
i]
)o(nv \sum p[i])
o(nv∑p
[i])
，略高。
時間優化：將該問題轉換為0-1揹包問題，即若第i種物品有s件，那麼可以將其分成s份」不同「的物品。但是略複雜。
二進位制優化法：若要表示1~s之內的任意乙個數字，只需要 log
2(s)
log_2(s)
log2(
s)向上取整個數即可完全表示，分別取 1,2
,4,⋯
,2lo
g2(x
)1,2,4,\cdots, 2^(x)}
1,2,4,
⋯,2l
og2
(x) 個數，若最有乙個數不足 2lo
g2(x
)2^(x)}
2log2
(x)，則取 s−1
−2−4
−⋯
s-1-2-4-\cdots
s−1−2−
4−⋯。即十進位制數10可以用4個數表示，分別是1，2，4，3。前三個數最大能表示的數是7。故剩下乙個數取10-7=3。此時原問題就轉換為0-1揹包問題了。
public
intknapsackproblem
(int
w,int[
] v,
int[
] p,
int cap)}if
(s >0)
}}return dp[cap]
;}
v∑lo
g2(p
[i])
)o(nv\sum log_(p[i]))
o(nv∑l
og2
(p[i
]))。
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揹包問題 多重揹包
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