利用列主元高斯消元法求線性方程組及其演算法實現

學過線性代數的朋友都知道有多種方法能用來解線性方程組,今天我給大家介紹的方法是,列主元高斯消元法及其演算法實現

如何解線性方程組?

相信大家在初中就學過解方程組,如下面做這個題目

我們求解的時候,就是用消元的方法,即通過兩個式子相減,可以消去乙個未知數,進行兩次就可以得到兩個只含相同未知數的方程,這個時候再將這兩個式子相減,又可以消去未知數,接下來的步驟就是求出乙個未知數,然後代入先前的方程,可以求另外乙個,然後再次回代,就可以求出來三個未知數了,更多未知數的方程也是可以通過類似的方法去求解的,但是乙個方程組可以求解的條件是:未知數的數量不大於方程組方程的個數,因此後面的演算法若是方程數小於未知數是無法求解的

為什麼要用列主元消元法

double**
init_matrix
(int r,
int c)
cout <<
"請輸入線性方程組對應的增廣矩陣:"
<< endl;
for(
int i =
0; i < r; i++)}
return p;
}

這裡我們將使用者輸入的線性方程組對應的增廣矩陣進行初始化,函式返回乙個二級指標(動態分配的二維陣列的位址)

尋找每一列的主元素,返回其行下標

int
find_comax
(int co_index,
int r,
int c,
double
**a)
int max = co_index;
for(
int i = co_index; i < c-
1; i++)}
return max;
}

這裡找列主元,就是要找到絕對值最大的那乙個,因此需要用到fabs()函式求絕對值

將列主元所在的那一行與當前行進行交換

void
swap_ro
(int co_swap,
int co_need,
int c,
double
**a)
else
}}

注:當前行的意思是,需要用這一行的第乙個不為0的元素與其他行進行消去的行

開始消元

void
chang_index_co
(int row_index,
int r,
int col,
double
** a)
}}

因為要使當前行的第乙個不為0的元素都消去,我們乘上去的c每消一次元都要進行初始化

開始回代計算各個未知數

void
calculate
(int r,
int c,
double
** a,
double
* p)
p[i]
=(a[i]
[c]- q)
/ a[i]
[i];
}}

解第i個未知數時,它後面的n-i個未知數都已經求出來了(因為轉化成上三角矩陣,是從最後的元素往前面求解的),所以要見這n-1個解乘上其相應的係數進行求和,然後再用方程的值做差,再除以第i個未知數的係數即可

進行一次完整的列主元高斯消元解方程組(將前面的函式綜合運用)

void
gauss_maxtrix()
double
** a =
init_matrix
(row, col)
;int lin =0;
int trow = row > col ? col : row;
for(
int i =
0; i 
)swap_ro
(i, lin, col, a)
;chang_index_co
(i, row, col,a);}
double
* p =
newdouble
[col]
;memset
(p,0
,sizeof
(double
)* col)
;calculate
(row,col,a,p)
;	cout <<
"方程組的近似解為:"
<< endl;
for(
int i =
0; i < col; i++
)for
(int i =
0; i < row; i++
)delete
a;deletep;}

大家在求解完以後,還是要養成釋放動態記憶體的好習慣

完整**

#include
#include
using
namespace std;
/*測試資料
2 22 3  5
1 -1 0
3 33 2 -3 -2
1 1  1  6
1 2 -1  2
*/double**
init_matrix
(int r,
int c)
cout <<
"請輸入線性方程組對應的增廣矩陣:"
<< endl;
for(
int i =
0; i < r; i++)}
return p;
}//當前列
intfind_comax
(int co_index,
int r,
int c,
double
**a)
int max = co_index;
for(
int i = co_index; i < c-
1; i++)}
return max;
}//co_need 值最大主元所在的行下標 co_swap最上面的行下標
void
swap_ro
(int co_swap,
int co_need,
int c,
double
**a)
else}}
void
chang_index_co
(int row_index,
int r,
int col,
double
** a)}}
void
calculate
(int r,
int c,
double
** a,
double
* p)
p[i]
=(a[i]
[c]- q)
/ a[i]
[i];}}
void
gauss_maxtrix()
double
** a =
init_matrix
(row, col)
;int lin =0;
int trow = row > col ? col : row;
for(
int i =
0; i 
)swap_ro
(i, lin, col, a)
;chang_index_co
(i, row, col,a);}
double
* p =
newdouble
[col]
;memset
(p,0
,sizeof
(double
)* col)
;calculate
(row,col,a,p)
;	cout <<
"方程組的近似解為:"
<< endl;
for(
int i =
0; i < col; i++
)	cout<
for(
int i =
0; i < row; i++
)delete
a;delete
p;}int
main
(void
)

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