最大連續子串行求和的多種解法

題目鏈結

【題目描述】洛谷1115最大連續子串行求和

給出一段序列，選出其中連續且非空的一段使得這段和最大。

【輸入格式】

第1行是乙個正整數n(n≤200000)，表示了序列的長度。

第2行包含n個絕對值不大於10000的整數a[i]，描述了這段序列。

【輸出格式】

輸出僅包括1個整數，為最大的子段和是多少。子段的最小長度為1。

列舉——優化o(n2)

列舉——再優化o(n)

分治o(nlog2n)

動態規劃o(n)

對於此問題的求解與優化，讓人不得不折服於演算法的魅力我就是這麼入坑的。

大多數題目不出意外第一想法基本都是列舉；對於這個題目的暴力其實不難想到，題目求解的是乙個連續區間的和，區間必然有左右端點，因此直接列舉左端點l和右端點r，知道區間了求和還不是分分鐘的事（迴圈累加唄），**大概長得如下：

for

(int l=
1;l<=n;l++
)//列舉左端點
for(
int r=l;r<=n;r++
)

字首和：與陣列arr宣告乙個一樣大的陣列sum,將arr的前i項和儲存到sum[i]，不難得到sum[i]=sum[i-1]+arr[i]

例如：123

4567

8arr13

-342-2

7-3sum141

57512

9應用字首和求解arr[ l到r ]的和:

sum[r]-sum[l-1] = arr[l]+arr[l+1]+……+arr[r]

因此，可以先預處理出字首和，然後用sum[r]-sum[l-1]代替for l to r求和；可優化到o(n2)。分析後發現該時間複雜度依然不能滿足題目要求,當然字首和思想還是不錯的，**大概如下：

sum[0]

=0;for
(int i=
1;i<=n;i++
)sum[i]
=sum[i-1]
+arr[i]
;for
(int l=
1;l<=n;l++
)for
(int r=l;r<=n;r++
)		ans=
max(ans,sum[r]
-sum[l-1]
);

事實上，並非如此，在字首和的基礎上，可以再優化。

再上述演算法中不難看出核心**就一句：

ans=

max(ans,sum[r]
-sum[l-1]
)

顯然，r固定後，sum[r]是不會改變的，因此要使sum[r]-sum[l-1]盡量大，只要找到最小的sum[l-1]即可。

因此，列舉右端點r，並維護乙個前r項的最小和mins即可。可省去列舉左端點的迴圈，從而將演算法優化到o(n)。

#include

using
namespace std;
const
int n=
2e5+5;
int sum[n]
,ans=
-n,n,mins=0;
intmain()
printf
("%d"
,ans)
;return0;
}

假設要求解的區間為[l,r]，l,r的重點為mid，而且最大和的那一段為[x,y]，則[x,y]與mid只有三種關係：

[x,y]完全處於mid左邊，即x≤y[x,y]橫跨mid，即x[x,y]完全位於mid右邊，midx

對於第1種和第3種情況，顯然是乙個子問題。大問題是求解[l,r]中的[x,y],情況1和情況3是求解[l,mid]和[mid+1,r]中的[x，y]；因此屬於規模更小的子問題，直接遞迴求解即可。

再看情況2，橫跨mid，則表明最優解一定是mid左邊一部分，右邊一部分，因此只需要求出以mid結尾的最優左子段lsum，以及mid+1的最優右欄位rsum，lsum+rsum就是第2種情況的最優解。

最後，返回三種情況中的最大值即可。

#include

using
namespace std;
const
int n=
2e5+6;
int arr[n]
,n;int
getmax
(int l,
int r)
intmain()

狀態方程也比較容易，f(i)表示以第i個數結尾的最大連續子串行的 和

對於數字i的決策：

狀態轉移方程：f(i)=max(f[i-1],0)+arr[i]

只需要掃瞄一次arr[i]，因此時間複雜度為o(n)，當然仔細分析會發現陣列arr其實以不要。因為只用了一次，完全可以直接用f[i]代替arr[i]

#include

const
int n=
2e5+6;
int f[n]
,n,ans=
-2e+9;;
intmain()
printf
("%d"
,ans)
;}

一種演算法是否可行，不一定要實現，通過分析就能知道大概。

有時候正解可能是在某個暴力演算法的基礎上優化而來（解法3），這個優化可能是某種思想（極大，極小，倍增，差分），也有可能需要採用一切特殊的資料結構（堆或 優先佇列，單調佇列，樹狀陣列，線段樹，st表）。

最大連續子串行求和

time limit 1 s memory limit 32 mb submitted 120 accepted 67 64bit integer format lld submit 給定k個整數的序列，其任意連續子串行可表示為，其中 1 i j k。最大連續子串行是所有連續子串行中元素和最大的乙個...

最大連續子串行求和

問題 有一串 int 數字串,存在陣列a中。要求找到起始位置start和終止位置end，使得從start位置到end位置的所有數字之和最大，返回這個最大值max。演算法思路 設 suffer 為以a x 終止且包含a x 的最大序列的和，有 if suffer a x 1 max suffer a ...

最大連續子串行求和

hz偶爾會拿些專業問題來忽悠那些非計算機專業的同學。今天測試組開完會後,他又發話了 在古老的一維模式識別中,常常需要計算連續子向量的最大和,當向量全為正數的時候,問題很好解決。但是,如果向量中包含負數,是否應該包含某個負數,並期望旁邊的正數會彌補它呢？例如 連續子向量的最大和為8 從第0個開始,到第...