我已經無法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。到底是座標系，還是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裡統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：
「矩陣就是由m行n列數放在一起組成的數學物件。」
好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下乙個行列式的問題。矩陣m的行列式實際上是組成m的各個向量按照平行四邊形法則搭成乙個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻無法揭開其中奧秘了。也許我掌握的數學工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。
我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，請大家不必等待這個系列的後續部分。以我的工作情況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應用層面的考慮，比如對計算機圖形學相關演算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內會出現了。
「分」的反義字是「和」，是我們熟悉的字。比如：2+3=5，從左往右運算，我們叫求和。那麼「分」呢，既然是反義字，就把上面的等式反過來：5=2+3。
把乙個物件表示成兩個以至更多的物件的和，這個過程叫分析。
通常來說，分析物件應當與被分析物件一致。是數就都是數，是函式就都是函式，是向量就都是向量，是矩陣就都是矩陣。
求和是數學裡最基本的運算，減、乘、除是從求和中衍生出來的。而更高階的冪、指、對、三角、微積分等，也是一層一層建立起來的， 最根本的還是這個求和。求和最簡單，最容易計算，性質也最簡單。所以成了分析的基本出發點。
分析的妙處在於，通過分析可以將較複雜的物件劃分為較簡單的物件。比如2和3就比5簡單。單獨研究2的性質，再單獨研究3的性質，再通過簡單的求和，就可以把握5的性質。把複雜的東西劃分成若干簡單物件的和，對各簡單物件搞各個擊破，再加起來，複雜的東西也就被掌握了。
分析是西方思想中乙個根本性的東西。西方人認為，事物總是有因果的，看到了結果，要分析原因。所謂分析原因，就是找出一堆因素，說明這堆因素合起來導致了結果。西方人認為，事物總是可以分析的。看到了整體，就要把那些合成這個整體的區域性一一分析出來。 現代科學很大一部分就是這麼回事。
大學數學裡，有很多內容就是在講分析。數學裡的分析還要把含義拓展，就是把乙個數學物件合理地表示成若干更簡單物件與實數係數之積的和。但微積分和線性代數各有側重。微積分研究的是無窮項求和。無窮項之和與有窮項之和是本質不同的。但是無窮項之和是無法運算的，至少不實際。所以要想辦法通過一種辦法用有窮項之和來近似的代替，這就是逼近。逼近成立的條件是收斂，就是說，只有從乙個收斂的無窮項的開頭截出一部分來求和，才能被認為是逼近。華人數學家項武義說，微積分就逼近這一板斧，但是無往而不利。
微積分主要研究函式，連續函式的因變數y會由於自變數x的變化而變化。這種變化也是要分析的。當x從 x0變成x1時，y是怎樣從y0變到y1 的？按照上面的說法，「y的變化（y1-y0)」這乙個數學物件，要用一系列比較簡單的「變化」相加來表示。數學家找到了乙個收斂的「變化」物件的序列，排在頭一位的是乙個線性的變化量，它的係數就是導數，它本身就是微分dy。數學家又發現，當x的變化量無窮小時，從這個無窮的、收斂的「變化」物件序列中，只要截出第一項，也就是微分dy，就無論如何可以精確描述y的變化了。曾在一本書上見過這樣的說法，泰勒公式是數學分析的頂峰。不知道是不是有道理。我自己覺得是這麼回事。有了泰勒公式，我們可以任意精確地算乙個函式在某一點上的值。畢竟只是實數求和嘛。
但是為了表示泰勒公式，我們卻用了乙個挺複雜的連加代數式。代數式不能象實數那樣簡單加起來得到乙個物件，它只能表示成和的形式。這是我們意識到，在這個連加式中各物件存在某些特別的不同，使它們沒法簡單地加到一起。 因此我們有必要討論，把一些性質不同的東西加到一起所形成的這個物件有什麼性質。 這就是向量。
微積分研究如何把乙個物件分解為無窮項同質物件之和，線性代數研究「有限項異質物件之和」這個新物件的性質。一方面，上面說過，微積分到最後還是要化無窮為有窮，化精確為逼近；另一方面，異質物件經過某種處理可以轉化為同質物件。比如不同次的冪函式是異質物件，但是一旦代入具體數值則都可以轉化為實數，變成了同質物件。因此線性代數研究的問題對微積分很重要。故我認為大學裡應先講線性代數，後講微積分。
我們的微積分教學，將重點過分傾注在微分和積分的運算上了，其實實踐中更為重要的是我們稱為「級數」的那部分內容。即研究如何將乙個量表達為乙個數項級數，如何將乙個函式表達為乙個函式項級數。
線性代數把異質物件之和（向量）作為研究的基礎，研究這些新定義的物件加起來又可以表示什麼。其結論是，有限數量的向量連加起來，有可能具有這樣的能力，即同維的全部向量都可以表示成這些向量的和。這樣的一組具有充分表現能力的向量，是線性無關的向量，組成了乙個向量空間，而它們自己構成了這個向量空間裡的一組基。
回到分析的概念上，乙個向量總可以表示為若干個同階向量之和，這就是向量的分析。但是並不是所有的這些分析都具有相同的價值。在某種運算中，某種特別的分析能夠提供特別優越的性，從而大大簡化運算。比如在大多數情況下，將乙個向量表示成一組單位正交基向量的和，就能夠在計算中獲得特別的便利。面對某個問題，尋找乙個最優越的分析形式，把要研究的物件合理地表示成具有特殊性質的基物件與實數係數之積的和，這是分析的重要步驟，也是成功的關鍵。在這種表示式中，係數稱為座標。
經典的方法都是以找到一組性質優良的基為開端的，例如：
傅利葉分析以正交函式係為基，因此具有優良性質，自2023年以來取代冪函式系，成為分析主流。
在曲線和曲面擬合中，正交多項式集構成了最佳基函式。 拉格朗日插值多項式具有乙個特別的性質，即在本結點上為1，在其他結點上為0。
有限元中的形函式類似拉氏插值多項式。
結構動力學中的主振型迭加法，也是以相互正交的主振型為基，對多質點體系位移進行分析的。
特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以乙個向量的結果仍是同維數的乙個向量，因此，矩陣乘法對應了乙個變換，把乙個向量變成同維數的另乙個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問乙個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能是零向量)，所以乙個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義ax=cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣a對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標量且不為零)，所以所謂的特徵向量不是乙個向量而是乙個向量族，另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對乙個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！
比如平面上的乙個變換，把乙個向量關於橫軸做映象對稱變換，即保持乙個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是映象對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!
卷積的物理意義
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FFT 的物理意義
fft是離散傅利葉變換的快速演算法，可以將乙個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號分析採用fft變換的原因。另外，fft可以將乙個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。雖然很多人都知道fft是什麼，可以用來做什麼...