目錄
一、泰勒公式的出現
二、推導泰勒公式
三、泰勒中值定理1
四、泰勒中值定理2
泰勒公式出現的原因是有一些比較複雜的函式，為了便於研究往往希望用一些簡單的函式來近似表達。用多項式只對自變數進行有限次的加減乘三種運算，便能求出它的函式值來。
於是呢，假設fx在x0處有n階導數，嘗試找出乙個關於x-x0的n次多項式
來近似表達fx，要求使得pn(x)與f(x)之差是當x趨於x0時比(x-x0)的n次方高階的無窮小。
課本上直接給出了假設說要假設pn(x)在x0處的函式值及它的直到n階導數在x0處的值依次與fx0,f'x0,......f(x0)的n次求導相等。
其實這個假設有些為時尚早，因為我們的目的是它倆之差為比(x-x0)的n次方高階的無窮小。
我們應該從證明過程中去推導，這樣才是嚴謹的數學過程：
首先既然是比(x-x0)的n次方高階的無窮小，那麼很明顯求比的極限應該=0.
那我們看看他們比的極限是什麼
不要看倒數第二行，他是應用了假設，不影響結果是
f(x0)的n次導數=pn(x0)的n次導數。
由於rn是比(x-x0)的n次方高階的無窮小，所以，不管n取多少，上式都是成立的。
所以我們要找的pn(x)滿足：
然而課本一開始就告訴我們要這麼假設，反而失去了證明的樂趣。
這樣就可以確定係數a0~an了
其實我們上面的證明就相當於證明了f(x)就是可以用pn(x)和乙個(x-xo)的n次方的高階無窮小（即rn(x)）來表示。
泰勒中值定理的意思就是假如我們把fx表示成rn(x)和pn(x)的和了，那麼這個rn(x)就一定是比(x-xo)的n次方高階的無窮小。
上面的證明就可以作為泰勒公式的證明（不用去掉公式第三行了，因為假設就已經把pn定出來了）。
然後總結一下：
上式被稱為函式fx在x0處（或者說是按照x-x0的冪展開）的n次泰勒公式。
上式被稱為函式fx在x0處（或按照x-x0的冪展開）的帶有佩亞諾(peano)餘項的n階泰勒公式，而rn(x)的表示式
被稱為佩亞諾餘項。
泰勒中值定理1只是給出了rn的性質，並不知道rn具體是什麼。而泰勒中值定理2則解決了這個問題。
關於泰勒公式2的證明過程
我沒想到它是用了柯西中值定理來證明的，很靈性。
對於這個新定理**現的公式
叫做函式fx在x0處（或者按x-x0的冪展開）的帶有拉格朗日餘項的n階泰勒公式，而rn的表示式
稱為拉格朗日餘項。
這為啥跟拉格朗日扯上關係呢，可能是因為
泰勒中值定理2已經把rn進一步細化了，我們可以根據其表示式來近似估計誤差，於是有下面的誤差估計式：
另外當x0取0的時候，就不叫帶有佩亞諾餘項的泰勒公式，也不叫帶有拉格朗日餘項的泰勒公式了，而是
帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式，帶有拉格朗日餘項的麥克勞林公式。
另外由於x=0，因此ξ也可以=θx了，0
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