問題描述
有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
為方便講解和理解，下面講述的例子均先用具體的數字代入，即：eg：number＝4，capacity＝8
i（物品編號）12
34w（體積）23
45v（價值） 34
56總體思路
根據動態規劃解題步驟（問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關係式、填表、尋找解組成）找出01揹包問題的最優解以及解組成，然後編寫**實現。
動態規劃的原理
動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。
最優性原理是動態規劃的基礎，最優性原理是指「多階段決策過程的最優決策序列具有這樣的性質：不論初始狀態和初始決策如何，對於前面決策所造成的某一狀態而言，其後各階段的決策序列必須構成最優策略」。
揹包問題的解決過程
在解決問題之前，為描述方便，首先定義一些變數：vi表示第 i 個物品的價值，wi表示第 i 個物品的體積，定義v(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值，同時揹包問題抽象化（x1，x2，…，xn，其中 xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選）。
1、建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；
2、尋找約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxn3、尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即v(i,j)=v(i-1,j)；
還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)，但價值增加了v(i)；
由此可以得出遞推關係式：
j=w(i) v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝
這裡需要解釋一下，為什麼能裝的情況下，需要這樣求解（這才是本問題的關鍵所在！）：
可以這麼理解，如果要到達v(i,j)這乙個狀態有幾種方式？
肯定是兩種，第一種是第i件商品沒有裝進去，第二種是第i件商品裝進去了。沒有裝進去很好理解，就是v(i-1,j)；裝進去了怎麼理解呢？如果裝進去第i件商品，那麼裝入之前是什麼狀態，肯定是v(i-1,j-w(i))。由於最優性原理（上文講到），v(i-1,j-w(i))就是前面決策造成的一種狀態，後面的決策就要構成最優策略。兩種情況進行比較，得出最優。
4、填表，首先初始化邊界條件，v(0,j)=v(i,0)=0；
然後一行一行的填表：
如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有jw(4)，故v(4,8)=max｛ v(4-1,8)，v(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10……
所以填完表如下圖：
5、**填完，最優解即是v(number,capacity)=v(4,8)=10。
**實現
為了和之前的動態規劃圖可以進行對比，儘管只有4個商品，但是我們建立的陣列元素由5個。
#includeusing namespace std;
#include int main()
; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = ; //商品的價值3、4、5、6
int ba** = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = }; //動態規劃表
for (int i = 1; i <= 4; i++)
}//動態規劃表的輸出
for (int i = 0; i < 5; i++)
cout << endl;
}return 0;
}
通過上面的方法可以求出揹包問題的最優解，但還不知道這個最優解由哪些商品組成，故要根據最優解回溯找出解的組成，根據填表的原理可以有如下的尋解方式：
v(i,j)=v(i-1,j)時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到v(i-1,j)；
v(i,j)=v(i-1,j-w(i))+v(i)時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到v(i-1,j-w(i))；
一直遍歷到i＝0結束為止，所有解的組成都會找到。
就拿上面的例子來說吧：
最優解為v(4,8)=10，而v(4,8)!=v(3,8)卻有v(4,8)=v(3,8-w(4))+v(4)=v(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被選中，並且回到v(3,8-w(4))=v(3,3)；
有v(3,3)=v(2,3)=4，所以第3件商品沒被選擇，回到v(2,3)；
而v(2,3)!=v(1,3)卻有v(2,3)=v(1,3-w(2))+v(2)=v(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被選中，並且回到v(1,3-w(2))=v(1,0)；
有v(1,0)=v(0,0)=0，所以第1件商品沒被選擇。
**實現
揹包問題最終版詳細**實現如下：
#includeusing namespace std;
#include int w[5] = ; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = ; //商品的價值3、4、5、6
int ba** = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = }; //動態規劃表
int item[5]; //最優解情況
void findmax()
}} void findwhat(int i, int j)
else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])
}} void print()
cout << endl;
}cout << endl;
for (int i = 0; i < 5; i++)
cout << endl;}
int main()
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...