題目描述：
有 n 件物品和乙個容量是 v的揹包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的體積是 vi，價值是 wi。
求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。
輸入格式
第一行兩個整數，n，v，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。
接下來有 n行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i件物品的體積和價值。
輸出格式
輸出乙個整數，表示最大價值。
資料範圍
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8從這題開始就進入到動態規劃的刷題了，首先回憶下動態規劃的一些概念。
動態規劃的定義：鄧公在mooc中是這麼說的，動態規劃就是先用遞迴的思想找出問題的本質，再將其等效地轉化成迭代的寫法。更常規的定義是dp是用來解決一類最優化問題的演算法思想，將乙個複雜的問題分解成若干個子問題，通過綜合子問題的最優解來得到原問題的最優解。一般使用遞迴或者遞推的寫法來實現動態規劃，遞迴的寫法又稱為記憶化搜尋。
重疊子問題：如果乙個問題可以被分解為若干個子問題，且這些子問題會重複出現，那麼稱這個問題擁有重疊子問題。需要用動態規劃記錄重疊子問題的解，避免大量重複計算。舉個簡單的例子就是斐波那契數問題，每個狀態都是由前兩個狀態轉移過來的，fib(n)的計算用到了fib(n-1)和fib(n-2)，fib(n-1)的計算用到了fib(n-2)和fib(n-3)，如果不去儲存中間結果，fib(n-2)就要被重複計算，斐波那契問題裡規模為n-1的子問題和規模為n-2的子問題就是重疊的，甚至可以說n-1子問題的求解完全包括了n-2子問題的求解。
最優子結構：如果乙個問題的最優解可以由其子問題的最優解有效的構造出來，那麼稱這個問題擁有最優子結構。
乙個問題必須擁有重疊子問題和最優子結構，才能使用動態規劃去解決。動態規劃的出現一方面是消除了重疊子問題的重複計算，另一方面要從子問題的解推出總問題的解，就要求問題必須要有最優子結構。
有一類動態規劃可解的問題，它可以描述成若干個有序的階段，且每個階段的狀態只和上乙個階段的狀態有關，一般把這類問題稱為多階段動態規劃問題。
狀態無後效性：當前狀態記錄了歷史資訊，一旦當前狀態確定，就不會再改變，且未來的決策只能在已有的乙個或若干個狀態的基礎上進行，歷史資訊只能通過已有的狀態去影響未來的決策。
動態規劃中的狀態與搜尋中的狀態基本類似，我們找到初始的狀態，然後要一步步轉移到最終的狀態。首先要做的就是狀態的表示，一般用陣列來表示狀態，狀態的表示取決於問題中狀態涉及的屬性。表示好狀態後，我們易得問題的初始狀態，也就是dp的邊界，然後通過狀態轉移方程的設計逐步擴散到所有的狀態，最終可以解決問題。所以dp的核心在於狀態轉移方程的設計，換而言之，狀態轉移方程就是規定了由子問題的解是如何得到問題的解的。解決問題有分而治之和減而治之兩種思想，減而治之一般只需要從規模為n-1的子問題推出規模為n的問題，而分而治之則需要合併若干個規模較小的子問題才能得出問題的解。
本題是最簡單的01揹包問題，物品有三種屬性，數量，體積和價值，需要我們求解的最優解是揹包中物品的最大價值。用陣列f來表示狀態，第一維表示問題的規模，第二維表示體積，f陣列的值表示最大價值，即f[i][j]表示前i個物品中體積不超過j狀態的最大價值。下面要解決的就是如何從規模為i - 1的問題的解推出規模為i問題的解。揹包問題的關鍵在於物品的選擇，01揹包問題每個物品要麼選要麼不選，且數量都只有乙個。還記得最初對dp的定義是用遞迴的思想找出問題的本質，假設我們現在要寫個dfs找出本題的最優解，則需要從第乙個物品逐個往後遍歷，每個物品選了加進揹包是一種狀態，不選又是一種狀態。所以規模為i的問題可能由兩種狀態轉移而來，一種是選擇了第i個物品，另一種是沒有選擇第i個物品。f[i][j]表示在前j個物品中選出總體積不超過j的物品
的最大價值，如果第i個物品沒有選擇，說明在遍歷完前i - 1個物品時，揹包中已然裝進體積不超過j的物品了，故這種狀態表示為f[i-1][j]；如果選擇了第i個物品，第i個物品體積為v[i]，說明在前i-1個物品中已經裝進了不超過j - v[i]體積的物品，狀態表示為f[i-1][j-v[i]]。總結一下，f[i][j]這種狀態可以由f[i-1][j]以及f[i-1][j-v[i]]這兩種狀態轉移而來。題目的要求是價值最大，f陣列儲存的永遠是價值最大的那個，故f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i])。
確定了狀態轉移方程是f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i])後，需要確定dp的邊界狀態，即揹包中什麼都不裝，總價值自然是0。f[0][0] = f[0][1] = ... = f[0][m] = 0。然後確定狀態轉移的方向，既然f[i][j]表示的是前i個物品的最大價值，前i個物品的狀態是由前i - 1個物品的狀態轉移過來的，那麼我們需要先求出前1個物品的所有狀態，然後是前2個物品的所有狀態...。設一共n個物品，揹包容量為m，那麼迴圈第一層是1到n，第二層是0到m。注意：在進行狀態轉移時，只有當j > v[i]時才可能裝了第i個物品，這是顯然的，如果裝了第i個物品揹包中物品體積肯定超過v[i]。具體**如下：
#include #include using namespace std;
const int maxn = 1005;
int w[maxn],v[maxn],f[maxn][maxn];
int main()
}cout以前初學dp時，最迷糊的就是挑戰程式設計競賽上面使用滾動陣列來節省dp的儲存空間了。為此，我們需要先明白狀態轉移的方向，也就是迴圈的方向，不妨將f陣列列印出來。
以f[4][5]為例，僅由f[3][1]和f[3][5]轉移而來。我們計算f陣列的順序是自左而右，自上而下。每個狀態僅用到上一行的兩個狀態，之前行的狀態都沒用了，所以不妨將f[i][j]去掉第一維，我們即f[j]在迴圈遍歷到第一行時儲存的是f[1][j],遍歷到第二行時儲存的是f[2][j]，覆蓋掉了第一行的狀態值。還有個需要考慮的問題是假如我們還按照之前自左而右的f陣列填充順序的話，在算完f[4][1]時，已經覆蓋掉了f[3][1]的值，後面計算f[4][5]時便無法獲得之前f[3][1]的值了。每個狀態都只會用的上一行的兩個狀態，分別是上一行與之對齊的狀態和上一行相對偏左位置的狀態，因此，上一行右邊的狀態不會影響下一行左邊的狀態，我們可以自右而左的填充f陣列，這樣，計算f[4][5]時用到的兩個狀態都還沒被覆蓋掉。這時的一維陣列f就是滾動陣列，在不同的狀態轉移過程中表示不同的含義，有效的節省了時間和空間。具體**的變化只需要去掉上面**f的第一維，並將內層迴圈的列舉迴圈改為自右向左即可。
#include #include using namespace std;
const int maxn = 1005;
int w[maxn],v[maxn],f[maxn];
int main()
}cout<
return 0;
}
acwing 2 01揹包問題
有 n 件物品和乙個容量是 v的揹包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的體積是 vi，價值是 wi。求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且價值最大。輸出最大價值。輸入格式 第一行兩個整數，n，v，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。接下來有 n行，每行兩個整數 vi,w...
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有 n 件物品和乙個容量是 v 的揹包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。輸出最大價值。輸入格式 第一行兩個整數，n，v，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。接下來有 n 行，每行兩個整數 ...
acwing2 01揹包問題
有n n件物品和乙個容量是v v的揹包。每件物品只能使用一次。第i i件物品的體積是 v i vi，價值是 w i wi。求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。輸出最大價值。輸入格式 第一行兩個整數，n，v n，v n，v，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。...