這是王高雄裡的常微分方程裡的二次型v函式的構造…一節的定理，
定正矩陣，這個書裡沒注意到在哪，不過在高等代數中就是正定矩陣的意思，
第二個劃線部分矩陣裡的微分運算，也是沒見過的，
看起來很有意思，但是原因呢？
之前在證明劉維爾公式的時候有行列式求導運算，現在又有矩陣求導，
其實沒有特別的理由，就當作是一般的函式乘積求導而已，不過對於矩陣，只需要看作是n^2維向量值函式而已，然後按照數學分析中的多元函式微分即可。
把a*'b*+ba=c展開，如何得到書上的關係式。b由於b是對稱矩陣，b=u』bu也是對稱的，c由於c是對稱矩陣，c=u』cu也是對稱的。只有a*是a的相似矩陣。
首先看書上c1j就是說是第一行第j列。即是求(a
t)b(1j)元為a*t第一行乘以b的第j列，加上ba*(1j)元為b的第一行乘以a的第j列。
(λ1,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)』 + (b11, b12,…,b1n)(0,0,…,dj,λj,…,0)』=c1j。 所以 λ1b1j + b1(j-1)dj+b1jλj=c1j。 這裡(0,0,…,dj,λj,…,0)'dj的位置在矩陣a中為(j-1, j) λj的位置為(j,j)。
所以有(λ1+λj)b1j+dj*b(j-1)=c1j。 注意我這裡跟書上的是一樣的，只是寫法不同，書上是為了區分之前的矩陣，而我是為了簡化寫法。
然後考慮c2j，
求(a*t)b(2j)元為a*t第2行乘以b的第j列，加上ba*(2j)元為b的第2行乘以a的第j列。
(d2,λ2,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)』 + (b21, b22,…,b2n)(0,0,…,dj,λj,…,0)』=c2j。 所以 d2b1j+ λ2b2j + b2,(j-1)dj+b2jλj=c2j。 即是
(λ2+λj)b2j + d2b1j + djb2,(j-1)=c2j
然後考慮c3j，
求(a*t)b(3j)元為a*t第3行乘以b的第j列，加上ba*(3j)元為b的第3行乘以a的第j列。
(0,d3,λ3,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)』 + (b31, b32,…,b3n)(0,0,…,dj,λj,…,0)』=c3j。 所以 d3b2j + λ3b3j + b3,(j-1)dj + b3jλj = c3j。 即是 (λ3+λj)b3j + d3b2j+ dj*b3,(j-1) = c3j
現在考慮cij，
求(a*t)b(ij)元為a*t第i行乘以b的第j列，加上ba*(ij)元為b的第i行乘以a的第j列。
(0,…,di,λi,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)』 + (bi1, bi2,…,bin)(0,0,…,dj,λj,…,0)』=c3j。其中di的位置為(i,i-1)，λi的位置為(i,i)，dj的位置為(j-1,j)，λi的位置為(j,j)。所以 dib(i-1),j + λibij + bi,(j-1)dj + bijλj = cij。即是 (λi + λj)bij +dib(i-1),j +dj*bi,(j-1) = cij。
這裡i=2,3,…n，能取到n也是合理的。所以這就是書上n(n+1)/2元方程組。
比較所以有(λ1+λj)b1j+djb(j-1)=c1j 和
(λi + λj)bij +dib(i-1),j +djbi,(j-1) = cij (i=2,3,…,n)形式上的差別。發現就差了個d1b0,j，設d1=0, b0j=0，則形式上有
(λi + λj)bij +dib(i-1),j +djbi,(j-1) = cij (i=1,3,…,n)。 注意b是對稱矩形，為了保證對稱性，不妨假設有bi, 0=0 (i=1,2…,n)
現在看定理的內容，對於任意c唯一存在b滿足…。a，c是已知的，u也是已知的，則c*，a是已知的，所以方程組是求b，進而再求出b。
額，之前求ci1的時候有點問題，
求(a*t)b(ij)元為a*t第i行乘以b的第j列，加上ba*(ij)元為b的第i行乘以a*的第j列。
(0,…,di,λi,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)』 + (bi1, bi2,…,bin)(0,0,…,dj,λj,…,0)』=c3j。其中di的位置為(i,i-1)，λi的位置為(i,i)，dj的位置為(j-1,j)，λi的位置為(j,j)。如果j=1是第一列，d0不存在，所以j從2開始，但是為了形式統一，可以取d0=0。
書上並未統一i=1，而只是統一j=1，這在接下來求解bij也是可以的，書上求bij不過是進行移項操作而已。
王高雄的李雅普諾夫第二方法求非線性方程組的零解穩定性。
再利用丁同仁書上的定理1。王高雄書上的第五章定理11不如這個好。
書上的證明過程基本上沒有問題，但是定理的內容關於c是什麼對稱矩陣沒解釋。
在存在唯一的二次型證明過程中，對c沒有任何要求。
只是在證明a的特徵值實部均為負的時候，證明二次型定正，利用到了c是負定這個條件，即d(v)/dt=x^tcx是定負二次型。
那麼定理的意思是當c是定正的時候，證明的後部分一切結論都相反的嗎？
若c是定正的時候，先證當a的特徵值的實部均為負數，則v(x)=x』bx是定負的。假設不成立，即存在x0≠0，有
v(x0)>=0。考慮以x0為初值的解x=φ(t,t0,x0)，由於d(v(x))/dt=x』cx是定正的，則有d(v(φ(t)))/dt>0，(注意這裡φ(t)≠0，因為x=0在相平面中是奇點，φ(t)在相平面中穿過奇點只能是t趨於-∞或者∞，因為自洽微分方程軌線不相交。)兩邊取積分有∫d(v(φ(t)))/dt|[t, t0]=v(φ(t))-v(φ(t0))>0，當t>t0的時候，把t0換成t1，即有v(φ(t))>v(φ(t1))>v(φ(t0))。
又由於丁同仁書上定理1，引理2，則有基解矩陣φ趨於0，即是說任意解φ趨於0，則有lim(t->∞)v(φ(t))=0, 而lim(t->∞)v(φ(t))>=v(φ(t1))>0的矛盾，所以即證得v(x)=x』bx是定負的。
再證明當a的特徵值是有正實部的時候，二次型不是常負的。
假設v是常負的，即是任意x0≠0，有v(x0)<=0。分成兩部分討論。1.當v(x0)=0的時候，以x0為初值的解φ，有dv(x(t))/dt>0，所以就有v(x(t))>v(x(t0))=0，當t>t0的時候，這與v常負矛盾。
2.假設v為定負的時候，即是任意x0有v(x0)<0的時候，以x0為初值的解φ，有dv(x(t))/dt>0，所以就有v(x(t))>v(x(t0))，當t>t0的時候。模仿王高雄書上的定理5的證明過程，就有當v是負定的，dv/dt是正定的，則零解是漸近穩定的。
再根據丁同仁的定理3，特徵根有正實部，零解是不穩定的矛盾。可知，2情況也不成立。
所以綜上就有當a的特徵值是有正實部的時候，二次型不是常負的。
這樣就完整的證明了這個定理。在這裡插入描述
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