2.2 函式的漸近增長率
根據1.3節的定義，演算法的最壞情況時間複雜度是規模n的函式。由於n是乙個變數，這就給比較演算法的優劣帶來乙個問題：演算法1和演算法2在規模值n取不同值的時候，它們的優劣可能是不一樣的。常見的情況是，有一些複雜的演算法在小規模的時候無優勢甚至有劣勢，但是它們的優勢將在問題規模很大的時候顯現出來。我們在進行演算法分析的時候，更關心問題規模很大時演算法的表現。但是何謂規模大，對於不同的演算法而言又千差萬別。有的演算法可能在幾千的規模上就比同類演算法有優勢，而有的演算法可能需要到百萬級的規模才能顯現優勢。
正是針對演算法分析中的上述困難，我們引入函式的漸近增長率(asymptotic growth rate)概念，其中：
●增長率的概念使得我們集中關注演算法在規模較大時候的效能表現，它關注的不是代價函式的具體的值，而是代價函式的值隨規模增長的速度。因而不管開始的優劣如何，增長率較快的函式在面對大規模輸入的時候值會變得更大。
●漸近的概念幫我們處理了不同演算法對於 「大規模」的含義有不同解讀的問題，它關注的是問題規模趨於無窮時演算法代價的變化情況。
我們引入3組共5個不同的記號來描述函式的漸近增長率之間的關係，它們是o和o 、ω 和ω 、θ。我們首先給出使用極限語言的定義，在此基礎上給出基於求極限的判別方法。在這3組記號中，o和o的定義是基礎，這兩個符號之間的差別是理解其定義的重點。首先給出這兩個記號的定義。
定義2.2（f(n)=o(g(n))）
●o(g(n)) =。
●f(n)=o(g(n)) iff limn→∞f(n)g(n)=c<∞。
定義2.3（f(n)=o(g(n))）
●o(g(n)) =。
●f(n)=ω(g(n)) iff limn→∞f(n)g(n)=c>0（c也可以為∞）。
定義2.5（f(n)=ω(g(n))）
●ω(g(n)) =。
●f(n)=θ(g(n)) iff limn→∞f(n)g(n)=c，這裡 0根據上述定義，我們很容易驗證：
●o、ω、θ、o、ω這5種關係均滿足傳遞性。
●o、ω、θ這3種關係滿足自反性。
●θ是乙個等價關係。
●f(n)=θ(g(n)) iff f(n)=o(g(n))且f(n)=ω(g(n))。
●o、 o和ω、ω之間有一種對偶的關係，即f=o(g) iff g=ω(f),f=o(g) iff g=ω(f)。
這些性質的證明留作習題。
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