面試題51 陣列中的逆序對

題目：在陣列中的兩個數字，如果前面乙個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成乙個逆序對。輸入乙個陣列,求出這個陣列中的逆序對的總數p。並將p對1000000007取模的結果輸出。即輸出p%1000000007

看到這個題目，我們的第一反應是順序掃瞄整個陣列。每掃瞄到乙個陣列的時候，逐個比較該數字和它後面的數字的大小。如果後面的數字比它小，則這兩個數字就組成了乙個逆序對。假設陣列中含有n個數字。由於每個數字都要和o(n)這個數字比較，因此這個演算法的時間複雜度為o(n^2)。

我們以陣列為例來分析統計逆序對的過程。每次掃瞄到乙個數字的時候，我們不拿ta和後面的每乙個數字作比較，否則時間複雜度就是o(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a) 把長度為4的陣列分解成兩個長度為2的子陣列；

(b) 把長度為2的陣列分解成兩個成都為1的子陣列；

(d) 把長度為2的子陣列合併、排序，並統計逆序對；

在上圖（a）和（b）中，我們先把陣列分解成兩個長度為2的子陣列，再把這兩個子陣列分別拆成兩個長度為1的子陣列。接下來一邊合併相鄰的子陣列，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1的子陣列、中7大於5，因此（7,5）組成乙個逆序對。同樣在第二對長度為1的子陣列、中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子陣列內部的逆序對，因此需要把這兩對子陣列排序如上圖（c）所示，以免在以後的統計過程中再重複統計。

接下來我們統計兩個長度為2的子陣列子陣列之間的逆序對。合併子陣列並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

我們先用兩個指標分別指向兩個子陣列的末尾，並每次比較兩個指標指向的數字。如果第乙個子陣列中的數字大於第二個陣列中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子陣列中剩餘數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第乙個陣列的數字小於或等於第二個陣列中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從後面往前複製到乙個輔助陣列中，確保輔助陣列（記為copy）中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助陣列之後，把對應的指標向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

過程：先把陣列分割成子陣列，先統計出子陣列內部的逆序對的數目，然後再統計出兩個相鄰子陣列之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對陣列進行排序。如果對排序演算法很熟悉，我們不難發現這個過程實際上就是歸併排序。參考**如下：

class solution 
int length=(end-start)/2;
long long left=inversepairscore(copy,data,start,start+length);
long long right=inversepairscore(copy,data,start+length+1,end); 
int i=start+length;
int j=end;
int indexcopy=end;
long long count=0;
while(i>=start&&j>=start+length+1)
else
}for(;i>=start;i--)
copy[indexcopy--]=data[i];
for(;j>=start+length+1;j--)
copy[indexcopy--]=data[j];       
return left+right+count;
}};

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