機器學習經典演算法筆記 梯度下降演算法

2021-09-20 03:06:29 字數 4108 閱讀 8080

本文推薦乙個更好的版本理解 梯度下降，下面的**選自本文

這大概是我見過最好理解的乙個版本

梯度下降的場景假設

梯度梯度下降演算法的數學解釋

梯度下降演算法的例項

梯度下降演算法的實現

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代價函式：

j (θ

)=12

m(xθ

−y→)

t(xθ

−y→)

j(\theta) = \frac (x\theta-\overrightarrow)^t(x\theta-\overrightarrow)

j(θ)=2

m1​(

xθ−y

​)t(

xθ−y

​)求導可得：

∇ j(

θ)=1

mxt(

xθ−y

→)

\nabla j(\theta) = \frac x^t(x\theta-\overrightarrow)

∇j(θ)=

m1​x

t(xθ

−y​)

首先，我們需要定義資料集和學習率

import numpy as np


# size of the points dataset.


m =20


# points x-coordinate and dummy value (x0, x1).


x0 = np.ones(


(m,1))


x1 = np.arange(


1, m+1)


.reshape(m,1)


x = np.hstack(


(x0, x1)


)# points y-coordinate


y = np.array([3


,4,5


,5,2


,4,7


,8,11


,8,12


,11,13


,13,16


,17,18


,17,19


,21])


.reshape(m,1)


# the learning rate alpha.


alpha =


0.01
接下來我們以矩陣向量的形式定義代價函式和代價函式的梯度

def


error_function


(theta, x, y)


:'''error function j definition.'''


diff = np.dot(x, theta)


- y    return(1


./2*m)


* np.dot(np.transpose(diff)


, diff)


defgradient_function


(theta, x, y)


:'''gradient of the function j definition.'''


diff = np.dot(x, theta)


- y    return(1


./m)


* np.dot(np.transpose(x)


, diff)
最後就是演算法的核心部分，梯度下降迭代計算

def


gradient_descent


(x, y, alpha)


:'''perform gradient descent.'''


theta = np.array([1


,1])


.reshape(2,


1)gradient = gradient_function(theta, x, y)


while


not np.


all(np.absolute(gradient)


<=1e-


5):        theta = theta - alpha * gradient


gradient = gradient_function(theta, x, y)


return theta
當梯度小於1e-5時，說明已經進入了比較平滑的狀態，類似於山谷的狀態，這時候再繼續迭代效果也不大了，所以這個時候可以退出迴圈！

完整的**如下

import numpy as np


# size of the points dataset.


m =20


# points x-coordinate and dummy value (x0, x1).


x0 = np.ones(


(m,1))


x1 = np.arange(


1, m+1)


.reshape(m,1)


x = np.hstack(


(x0, x1)


)# points y-coordinate


y = np.array([3


,4,5


,5,2


,4,7


,8,11


,8,12


,11,13


,13,16


,17,18


,17,19


,21])


.reshape(m,1)


# the learning rate alpha.


alpha =


0.01


deferror_function


(theta, x, y)


:'''error function j definition.'''


diff = np.dot(x, theta)


- y    return(1


./2*m)


* np.dot(np.transpose(diff)


, diff)


defgradient_function


(theta, x, y)


:'''gradient of the function j definition.'''


diff = np.dot(x, theta)


- y    return(1


./m)


* np.dot(np.transpose(x)


, diff)


defgradient_descent


(x, y, alpha)


:'''perform gradient descent.'''


theta = np.array([1


,1])


.reshape(2,


1)gradient = gradient_function(theta, x, y)


while


not np.


all(np.absolute(gradient)


<=1e-


5):        theta = theta - alpha * gradient


gradient = gradient_function(theta, x, y)


return theta


optimal = gradient_descent(x, y, alpha)


print


('optimal:'


, optimal)


print


('error function:'


, error_function(optimal, x, y)[0


,0])
這裡需要說明的是，隨機梯度下降演算法沒有對整個資料集進行訓練，只是隨機選取若干個資料集

# 隨機梯度下降演算法


from sklearn.linear_model import sgdregressor  


sgd_reg = sgdregressor(n_inter = ??)


# 這裡傳入迭代次數


sgd_reg.fit(x_train_standard, y_train)


# 這裡需要進行標準化


sgd_reg.score(x_test_stardard, y_test)
最後推薦一本線代的書《沉浸式數學》可以直接看，這本書以動態插畫的形式來教你學習線性代數

沉浸式數學鏈結位址

機器學習 梯度下降演算法

梯度下降法是乙個 最優化演算法，通常也稱為最速下降法。最速下降法是求解無約束優化問題最簡單和最古老的方法之一，雖然現在已經不具有實用性，但是許多有效演算法都是以它為基礎進行改進和修正而得到的。最速下降法是用負梯度方向為搜尋方向的，最速下降法越接近目標值，步長越小，前進越慢。可以用於求解非線性方程組。...

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