演算法小談遞迴

基本概念：乙個函式呼叫它自身，就是遞迴

如求n的階乘的遞迴：

#includeusing namespace std;
int factorial(int n) 
int main()

這裡在求n的階乘時，我們就用到遞迴的概念。假如n=3,那麼函式首先呼叫factorial(3)，將函式呼叫壓入棧，繼續呼叫factorial（2）,繼續壓入棧，呼叫factoral（1），factoral（1）此時處於棧頂位置，因為n==1時，函式返回1，所以執行完factoral（1）後，**棧的函式呼叫就會先被彈出來，隨後執行factorial（2），繼續彈出，直到factorial（3）被執行，全部函式呼叫都被彈出，函式執行完畢，所以遞迴的過程就是不斷壓棧出棧的過程。

遞迴的作用：

可以看到，遞迴的作用有點類似與迴圈，但遞迴可能從某方面來說，能使得解決方案更清晰，其實並沒有效能上的優勢，實際上，在有些情況下，使用迴圈的效能更好。總而言之，借用某個大牛的話：使用迴圈可能會使得你的程式效能更高，但使用遞迴，可能會然後你的程式看起來更容易理解。

基本思路：該題就是乙個排列組合問題，主要利用遞迴來解決，因為字元的個數不大於6個。因此我們可以用乙個字元陣列來存貯不同組合下的變化情況，另外，為了輸出不同的排列，還需要設定乙個訪問標誌位，具體程式如下所示：

要注意的是，遞迴的條件需要包含兩個：基線條件和遞迴條件。遞迴條件是能讓你的程式使得問題能夠一步步的被分解，直到分解成最小規模求解問題，基線條件就是為了防止程式無限分解下去，即陷入死迴圈，所以這個條件也可以稱之為邊界條件。

#include#include#includeusing namespace std;
string s1;		//輸入字串
char s2[6];		//用來存放不斷調整的字元組合
int visit[6] = ;		//判斷字串某一位是否被訪問的標誌位
int len;		//字串的長度
void out_result(int steps) 
for (int i = 0; i < len; i++) 	}}
int main()

執行程式，輸入測試樣本，列印結果如下：

基本思路：從體重我們可以看到，當冪的大小小於4的時候，其實可以當作一種特殊情況，即遞迴的邊界條件，有了邊界條件，就可以對程式進行遞迴。

#include#include#includeusing namespace std;
int power_func(int x) 
power_func(x - pow(2,max_power - 1));		//繼續遞迴x-第一輪小於x的2的最大冪次方
}	else 	}}
int main()

輸入測試資料，得到結果如下所示：

基本思路：這一題和四則運算表示式的思路相似，同樣是將表示式分為項和因子來進行遞迴。

#include#include#include#includeusing namespace std;
char s[10000] = ;
bool expression_value();
bool term_value();
bool factor_value();
int my_cent;
bool term_value() 
else 
return result;
}bool factor_value() 
else if (o == 'v') 
else if (o == 'f') 
else if (o == '!') 
return result;
}bool expression_value() 
else 
}	return result;
}int main();
int len = strlen(s);
int n = 0;
for (int i = 0; i < len; i++) 
}		//cout << k;
len = strlen(t);
for (int i = 0; i < len; i++) 
s[len] = '\0';  //到這一步，輸入字元中的空格被去除
cout << "expression " << ++k << ": " << (expression_value() ? 'v' : 'f') << endl;
my_cent = 0;
memset(s, 0, 10000);
}	system("pause");
return 0;
}

基本思路：如果中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的乙個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);例如但n=4時，他有5個劃分，,,,,;注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同乙個劃分。該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

(1)當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即;

(2)當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，;

(3)當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

(a)劃分中包含n的情況，只有乙個即；

(b)劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4)當n(5)但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

(a)劃分中包含m的情況，即}, 其中的和為n-m，因此這情況下

為f(n-m,m)

(b)劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

#includeusing namespace std;
int equationcount(int n, int m)
int main()
return 0;
}

遞迴優點：

1. 簡潔

2.在樹的前序，中序，後序遍歷演算法中，遞迴的實現明顯要比迴圈簡單得多。

遞迴缺點：

2.遞迴中很多計算都是重複的，由於其本質是把乙個問題分解成兩個或者多個小問題，多個小問題存在相互重疊的部分，則存在重複計算，如fibonacci斐波那契數列的遞迴實現。->效率

3.呼叫棧可能會溢位，其實每一次函式呼叫會在記憶體棧中分配空間，而每個程序的棧的容量是有限的，當呼叫的層次太多時，就會超出棧的容量，從而導致棧溢位。->效能

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