第6章 堆排序
本章主要介紹了堆的基本知識和幾個基本操作過程
堆(二叉)堆資料結構是一種陣列物件，它可以被看作是一棵完全二叉樹。heap—size[a]即堆的大小是已知的，樹的根結點是a[1]，某個i結點，它的父結點parent(i)為，左兒子left(i)和右兒子right(i)的下標可以簡單地計算出來：
parent(i) ：return ⌊i / 2⌋
left(i) ：return 2i
right ：return 2i + 1
left過程可以通過左移一位的位運算（相當於乘2）來計算；right過程可以通過左移一位的位運算（相當於乘2）來計算，並在低位加一；parent過程可以通過右移一位的位運算（相當於除以2）來計算。
二叉堆分為兩種，分別是最大堆（大頂堆）和最小堆（小頂堆）。在最大堆中除根以外的每個結點i都有，
a[ parent(i) ] ≥ a(i)，即所有的父結點必須大於等於它的左右子結點，值最大的結點就是根結點；在最小堆中除根以外的每個結點i都有，a[ parent(i) ] ≤ a[i]。即所有的父結點都小於等於它的左右子結點，根結點的值最小。
幾個基本操作過程及在排序演算法和優先順序佇列中的使用
max-heapify過程，其執行時間是ο(lgn)，是保持最大堆性質的關鍵；
build-max-heap過程，其執行時間是ο(n)，可以在無序的輸入陣列基礎上構造出最大堆；
heap-sort過程，執行時間是ο(nlgn)，對乙個陣列原地進行排序（只有常數個元素儲存在陣列以外）
max-heap-insert，heap-extract-max，heap-increase-key，heap-maximum過程的執行時間是ο(lgn)，這些操作保證了堆結構可以作為優先順序佇列使用。
保持最大堆性質（max-heapify過程）
對於某個結點i來說，以left(i)和right(i)為根的兩顆二叉樹都是最大堆，但有可能a[i]的值小於它的子女left(i)和right(i)的值，這就違反了最大堆的性質。所以 max-heapify這個操作就是用來使這種 i 結點的值「下降」，或者說讓i跟最大的子i結點交換值，確保它的值大於等於它的子結點，使以i為根的子樹成為最大堆，保持最大堆的性質。
max-heapify(a, i)
1. l <-- left(i)
2. r <-- right(i)
3. if l ≤ heap-size[a] and a[l] ≥ a[i]
4. then largest <-- l
5. else largest <-- i
6. if r ≤ heap-size[a] and a[r] ≥ a[largest]
7. then largest <-- r
8. if largest ≠ i
9. then exchange a[i] and a[largest]
10. max-heapity(a, largest)
a=1, b=3/2, n^log(b)a = n ^0, 屬於情形2，t(n) = ο( n ^0 lgn ) = ο(lgn)。所以max-heapify的執行時間是
ο(lgn)。
對於 「i結點的子樹至多為2n/3」 的證明：
最壞情況發生在最底層恰好半滿，那麼假設左子樹比右子樹在對底層的結點數多，並設左子樹在最底層的結點數為k，已知所有的結點數是n，那麼我們設想右子樹在最底層也有k個結點，那麼這棵樹就是完全二叉樹了，總的結點是n+k；
再假設高為h，最底層的高度是0，那麼從下往上1-h的結點數就是(2 ^h) -1，最底層即高度為0的結點數為2 ^h，所以總的結點數n+k = (2 ^h) - 1 + 2 ^h ;
而我們知道k是左子樹最底層的結點數，那麼2k就是最底層即高度為0的所有結點數，上面算出來是2 ^h，所以，2k = 2 ^h，而n+k = (2 ^h) - 1 + 2 ^h，把2k = 2 ^h 代入得，n+k = 4k -1，n = 3k -1，k = (n+1) / 3；
完全二叉樹總結點數為n+k，那麼把根結點去掉再除以2，就可以得到左子樹結點數為(n+k-1) / 2，由上面得， (n+k-1)/2 = (4k-2)/2 = 2k-1 = 2(n+1) /3 - 1 = (2n -1)/3 ＜ 2n/3，所以結點數為n的 i 結點的子樹大小至多為2n /3。
建堆（build-max-heap過程）
我們可以自底向上地用max-heapify來將乙個陣列a[1…n]（n=length[a]）變成乙個最大堆。因為子陣列 a[(⌊n/2⌋ + 1) , (⌊n/2⌋ + 2) … n]中的元素都是樹中的葉子(即最底層的元素)，我們通過對這些元素的父結點呼叫max-heapify，之後對這些元素的父結點的父結點呼叫，如此類推，直到根結點，就可以實現建立最大堆了。
build-max-heap(a)
1.heapsize[a] <-- length[a]
2.for i <-- ⌊length[a]/2⌋ downto 1
3. do max-heapify(a, i)
堆排序演算法
heapsort(a)
1. build-max-heap(a)
2. for i <-- length[a] downto 2
3. do exchange a[1] <--> a[i]
4. heap-size[a] <-- heap-size[a] - 1
5. max-heapify(a, 1)
優先順序佇列
優先順序佇列可以用堆來實現。優先順序佇列分為兩種，分別是最大優先順序佇列和最小優先順序佇列。優先順序佇列是一種用來維護由一組元素構成的集合s的資料結構，這一組元素中的每乙個都有關鍵字key。乙個最大優先順序佇列支援一下操作：
insert(s, x)：把元素x插入集合s；
maximum(s)：返回s中具有最大關鍵字的元素；
extract-max(s)：去掉並返回s中的具有最大關鍵字的元素；
increase-key(s, x, k)；將元素x的關鍵字的值增加到k，這裡k不能小於x的原關鍵字的值。
最大優先順序佇列的乙個應用是在一台分時計算機上進行作業排程。這種佇列對要執行的各作業及它們之間的相對優先關係加以記錄，當乙個作業完成或中斷時，用extract-max操作從所有等待的作業中，選擇出具有最高優先順序的作業。在任何時候，乙個新的作業都可以用insert加入到佇列中去。
最小優先順序佇列可被用在基於事件驅動的模擬器中。在這種應用中，佇列中的各項是要模擬的事件，每乙個都有乙個發生時間作為其關鍵字。時間模擬要按照各事件發生事件順序進行，所以在模擬程式的每一步都用extract-min來選擇下乙個模擬事件。當乙個新事件產生，使用insert將其放入佇列中。
heap-maximum(a）
1. return a[1]
heap-extract-max(a)
2. if heap-size[a] < 1
3. then error"heap underflow" 堆下溢了
4. max <-- a[1]
5. a[1] <-- a[heap-size[a]]
6. heap-size[a] <-- heap-size[a] - 1
7. max-heapify(a, 1)
8. return max
heap-increase-key(a, i, key)
1 if key < a[i]
2 then error"new key is smaller than current key"
3 a[i] <-- key
4 while i > 1 and a[parent(i)] < a[i]
5 do exchange a[i] <--> a[parent(i)]
6 i <-- parent(i)
max-heap-insert(a, key)
1 heap-size[a] <-- heap-size[a] + 1
2 a[heap-size[a]] <-- -∞
3 heap-increase-key(a, heap-size[a], key)
上面四種操作的執行時間都為ο(lgn)。
《演算法導論》 第6章堆排序
include include using namespace std 定義結構體，其中包含陣列長alength，堆長heap size。struct dui 返回堆中元素i的父結點的下標 i 2向下取整，即i進行左移一位操作。int parent int i 返回堆中元素i的左孩子的下標 i 2 ...
演算法導論第6章 堆排序
本章開始介紹了堆的基本概念，然後引入最大堆和最小堆的概念。全章採用最大堆來介紹堆的操作，兩個重要的操作是調整最大堆和建立最大堆，接著著兩個操作引進了堆排序，最後介紹了採用堆實現優先順序佇列。1 堆 堆給人的感覺是乙個二叉樹，但是其本質是一種陣列物件，因為對堆進行操作的時候將堆視為一顆完全二叉樹，樹種...
《演算法導論》筆記 第6章 6 4堆排序演算法
反覆將大根堆的根與最後乙個結點交換，堆的大小減一，對根結點執行max heapify維護堆的性質。最終 a 陣列按公升序排列。void heapsort 6.4 1 說明 heapsort 在陣列 a 5,13,2,25,7,17,20,8,4 上的操作過程。6.4 2 討論在使用如下迴圈不變式時，...