人工智慧數學基礎系列文章
今天覆習矩陣，作為程式設計師，矩陣在程式中的應用想必或多或少都接觸過，特別是在影象變化演算法上的應用。
1. 定義
以上是乙個三元一次方程組，根據矩陣的**定義，有矩陣a如下圖
2. 矩陣的運算
2.1. 矩陣的加法
從上圖中我們可以看出，矩陣a和矩陣b相加，它們都是2 x 2的矩陣，相加就是兩個矩陣對應的元素值的相加，比如：矩陣a的一行一列元素3和矩陣b的一行一列的元素-7相加，得到新的矩陣的一行一列元素-4，以此類推計算出乙個新的矩陣。上圖中a+b計算的結果和b+a是一樣的，符合加法的交換律。 重新定義兩個矩陣a[2x2]和b[2x3]：
矩陣a是2行2列，矩陣b是2行3列，如果a+b，根據上面兩個矩陣相加的計算法則，會發現矩陣b的第三列元素沒有辦法相加。所以結論是： 當兩個矩陣相加的時候，這兩個矩陣的維數（行列個數）必須是相同的，比如要麼都是 2x2，要麼都是3x3等等。同樣的如果是a+b+c三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是一樣的。
2.2. 矩陣的減法
上圖可以看出，矩陣a-b的計算就是對應的每個元素的相減，而且有個規律是： 矩陣a-b= -(b-a)，同矩陣加法一樣，做減法的兩個或者多個矩陣的維數（行列個數）必須是一樣的，否則無法進行減法運算。
2.3. 矩陣的乘法
有矩陣a和b，兩個矩陣相乘，a的a11（表示矩陣的第一行第一列元素）、a12 分別和b的第一列的兩個元素相乘後相加，作為新的矩陣的a11元素值。
上圖就很清楚的描述了，矩陣乘法的計算規則。
假設有兩個矩陣c和d，分別是c·d和d·c，很明顯計算出的結果不相同，所以通常情況下矩陣的乘法是不滿足：乘法交換律的，即：c·d≠d·c
如上圖，你會發現也不是任何兩個矩陣都能夠相乘，只有乘數矩陣a的列數和被乘矩陣b的行數相同的時候，兩個矩陣才能相乘。
3. 單位矩陣
在介紹單位矩陣之前，說介紹什麼是方陣，顧名思義，方陣就是方的，行數和列數一樣的矩陣，比如：
像上圖這樣，行列一樣的矩陣就是方陣，這很直觀也很好理解。
單位矩陣，是一直特殊的方陣，它的所有元素由0和1組成，並且對角線的元素為1,其餘元素為0，當然一階的單位矩陣只含有乙個元素1：i₁= [1]。
以上四個方陣都是單位矩陣，分別是i₂二階單位矩陣、i₃三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣。單位矩陣的階數可以無限擴大，比如n階的單位矩陣:
單位矩陣有乙個特殊重要的性質，i·a=a，a·i=a，這裡的矩陣a是乙個和單位矩陣同個維數的方陣，不是方陣無法和單位矩陣相乘，這個性質很容易證明，舉個例子就知道了：
反過來a·i也等於a
4. 逆矩陣
如上圖，如果乙個矩陣可逆，那麼就會有性質：a^-1·a=i，i是乙個單位矩陣。逆矩陣的求法，如上圖所示，逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數值 * 矩陣a的伴隨矩陣。當矩陣a的行列式如果等於0，即ad - bc = 0，或者 a/c = b/d，那麼這個矩陣不存在逆矩陣（行列式的倒數1/|a|沒有定義），我們也稱這樣的矩陣叫「奇異矩陣」。
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