如果給你乙個陣列，讓你求某個區間的和，你很自然會想到遍歷一遍陣列，複雜度是o(n),但是如果有多次詢問呢，你也許會想到用字首陣列，通過o(n)的預處理，達到o(1)的查詢，但是如果要更新某個元素的值呢，如果用字首和的思想，每更新乙個元素就會更新字首陣列,每次複雜度是o(n),如果有n次更改，複雜度為o(n^2)。有沒有更快的呢，這時候樹狀陣列就排上用場了，樹狀陣列可以用來解決動態陣列連續和的問題。
樹狀陣列(binary indexed tree(b.i.t), fenwick tree):是乙個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改乙個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中乙個元素的值(如果加入多個輔助陣列則可以實現區間修改與區間查詢)。
樹狀陣列大致就長下面這個模樣。
那麼樹狀陣列到底是怎麼把修改和求和都做到o(log(n))呢
當我麼求和的時候，c[1]=a[1],c[2]=c[1]+a[2],c[4]=c[2]+c[3]+a[4]，當我們更新a[2]的時候，我們只需要更新c[2],c[4],c[8],所以相當與每層我們只操作乙個結點，即o(log(n))。
當我們更新的時候c[i]的時候，就從c[i]開始往右走，邊走邊往上爬。比如我們更新c[2]的時候，我們先更新c[2],然後更新c[4]、c[8]、c[16]。
當我們要求和的時候，我們從c[i]開始往左走，邊走邊往上爬。比如我們求前7項和，先找到c[7],然後加上c[6],最後加上c[4]。
那我們怎麼才能做到這種奇怪的走法呢，
圖中灰色結點表示c[i],白色結點表示以i結尾的和，很神奇，灰色結點c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]表示以4結尾的和，我們很好理解，但是為什麼灰色結點c[6]表示的表示的只有a[5]+a[6] 我們怎麼來控制個數呢，對於c[4],我們相當於從下標4開始，往前數了4個數，對於c[6],我們從下標6開始往前數兩個數，有個公式c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]......+a[i]，其中k表示i的二進位制末尾0的個數
i2進製
k下標取值範圍
10001
0i-2^k+1...i=1...1
c[1]=a[1]
20010
1i-2^k+1...i=1...2
c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2]
30011
0i-2^k+1...i=3...3
c[3]=a[3]
40100
2i-2^k+1...i=1...4
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4]
50101
0i-2^k+1...i=5...5
c[5]=a[5]
60110
1i-2^k+1...i=5...6
c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6]
所以我們求和的時候我們就先找i，然後往前數2^k個數，既然k表示i的二進位制末尾0的個數，其實就是前一位對應的權值，比如4的二進位制為0100，末尾有2個0，所以2^k=4,從後往前數第一位不為0的出現在第三位，權值為100，即4。
那我們我們怎麼計算這個權值呢，lowbit(i)=2^k=x&-x，先給出**
int lowbit(int x)
所以c[i]等於以i開始從後往前數i&(-i)個數。
當我們更新c[i]的時候，就從c[i]開始往右走，邊走邊往上爬。所以i逐漸變大但小於等於n，即更新時的下標變化：i+=lowbit(i)
當我們要求和的時候，我們從c[i]開始往左走，邊走邊往上爬。所以i逐漸變小但大於0，即求和時下標變化：i-=lowbit(i)
預處理方法：先把a和c陣列都清空，然後執行n次add操作，所以時間複雜度為o(nlog(n))。
樹狀陣列主要是用來維護動態陣列連續和問題。
hdu 1166 敵兵布陣
題意：有n個營地，每個營地開始都有一定數量的敵軍，然後有下面三種命令
(1) add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30）
(2)sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）;
(3)query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數
題解：由於n=50000比較大，而且命令多達40000，所以可以用樹狀陣列來解決，當然也可以用線段樹來維護區間和，只不過線段樹**量比較大，所以對於這種單點更新求區間和問題最好使用樹狀陣列，寫起來節約時間，也不容易出錯。下面分別給出樹狀陣列和線段樹的**。
#include#includeusing namespace std;
const int maxn=50000+7;
int tree[maxn<<1]; //樹狀陣列
int n;
char s[10];
int lowbit(int x)
void add(int x,int d)
return ;
}int sum(int x)
return s;
}int main()
printf("case %d:\n",t);
int x,y;
while(scanf("%s",s)==1&&strcmp(s,"end"))
else if(!strcmp(s,"add"))
else }}
return 0;
}
#include#includeusing namespace std;
const int maxn =1e5+7;
long long int segtree[maxn<<2],a[maxn];
int n,x,y;
char s[10];
void pushup(int now) //維護的資訊 維護區間和
void build_tree(int l,int r,int now)
int mid=(l+r)>>1;
build_tree(l,mid,now<<1);
build_tree(mid+1,r,(now<<1)|1);
pushup(now);
}long long int query(int ql,int qr,int l,int r,int now)
long long int ans=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid)ans+=query(ql,qr,l,mid,now<<1);
if(qr>mid)ans+=query(ql,qr,mid+1,r,(now<<1)|1);
return ans;
}void update(int pos ,int c,int l,int r,int now)
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid)update(pos,c,l,mid,now<<1);
else update(pos,c,mid+1,r,(now<<1)|1);
pushup(now);
}int main()
else if(!strcmp(s,"add"))
else }}
return 0;
}
HDU 1166 敵兵布陣 樹狀陣列
用樹狀陣列很簡單，太晚了，貼下 睡覺去。另，研究線段樹的時候，發現網上流傳著有幾種不同的線段樹，最正宗的是以單位區間為單位，只能處理線段 另外還有幾種葉子結點是點的，這種也可以用來處理點，所以這題是可以用這種線段樹做的。還搞不太清楚它們之間的關係。mark一下，明天再說。include includ...
HDU 1166 敵兵布陣 樹狀陣列
problem description c國的死對頭a國這段時間正在進行軍事演習，所以c國間諜頭子derek和他手下tidy又開始忙乎了。a國在海岸線沿直線布置了n個工兵營地,derek和tidy的任務就是要監視這些工兵營地的活動情況。由於採取了某種先進的監測手段，所以每個工兵營地的人數c國都掌握的...
HDU 1166 敵兵布陣 （樹狀陣列）
敵兵布陣 time limit 1000msmemory limit 32768kb64bit io format i64d i64u submit status description c國的死對頭a國這段時間正在進行軍事演習，所以c國間諜頭子derek和他手下tidy又開始忙乎了。a國在海岸線沿...