字串匹配演算法 Rabin Karp 演算法

字串匹配演算法 -- rabin-karp 演算法

參考資料

1 演算法導論

2 lalor

3 記憶碎片

在實際應用中，rabin-karp 演算法對字串匹配問題能較好的執行。rabin-karp 演算法需要對字串和模式進行預處理，其預處理時間為 o ( m ) ，在最壞情況下的執行時間為 o ( ( n-m+1 ) m ) ，但基於某種假設（不知道是何種假設），它的平均情況下的執行時間還是比較好的。

為了便於說明，假設

∑ = ，這樣每個字元都是乙個十進位制數字。（對於更一般的情況，可以假設每個字元都是基數為 d 的表示法中的乙個數字，d = | ∑ | 。）可以用乙個長度為 k 的十進位制數來表示由 k 個連續字元組成的字串。因此，字串31415 就對應於十進位制數 31415 。

已知乙個模式 p[ 1.. m ]，設 p 表示該模式所對應的十進位制數的值（如模式 p = "31415" ，數值p = 31415）。對於給定的文字 t [ 1.. n ]，用 ts 來表示其長度為 m 的子字串 t [ s+1.. s+m ] （s = 0，1，.. n-m）相對應的十進位制數的值。ts = p 當且僅當 t [ s+1.. s+m ] = p[ 1.. m ] ，因此 s 是有效位移當且僅當 ts = p 。

於是應用霍納法則（horner's rule）在 o ( m ) 的時間內計算 p 的值：

p = p[ m ] + 10( p[ m-1 ] + 10 ( p[ m-2 ] + .. + 10( p[ 2] + p[ 1 ]) ... ))

類似的，也可以在 o ( m ) 時間內根據 t[ 1.. m ] 計算出 t0 的值。

為了在 o ( n - m ) 的時間內計算出剩餘的值 t1，t2，...，t ( n - m )，可以在常數時間內根據 ts 計算出 t ( s+1 )。因為

t ( s + 1) = 10 ( ts - 10^(m-1) t [ s+1 ] ) + t [ s + m +1] ( 1 )

事實上，就是去掉最高位，然後左移了一位，在加上 t [ s + m +1] ，就得到了 t ( s + 1) 。

預處理的時間為 o ( m )

當進行完預處理之後，就可以執行字串匹配了。我們只需要將 ti ( i = 0 , 1 , ... n-m ) 與 p 進行比較，相等則為合法匹配，否則為非法匹配。整個匹配過程的時間為 o ( n -m + 1 )

然而，上述問題對於模式 p 的長度較小時，比較方便。當 p 和 ts 的值很大時，p 的結果會太大，以至於不能很好的處理這類問題。所以才有了下面的改進版本。

對乙個合適的模 q 來計算 p 和 ts 的模。每個字元是乙個十進位制數，因為 p ，t0 以及遞迴式 1 計算過程都可以對模 q 進行，所以可以在 o ( m ) 時間內計算出模 q 的 p 值。在時間 o( n-m+1 ) 計算出模 q 的所有 ts 值。通常選模 q 為乙個素數，使得 10q 正好為乙個計算機字長。

在一般情況下，採用 d 進製的字母表時，所選取的 q 要滿足使 dq 的值在乙個計算機字長內，並調整遞迴式 ( 1 ) 以使對模 q 進行運算，使其成為

t ( s + 1) = ( d ( ts - t [ s+1 ] h ) + t [ s + m +1] ) mod q

其中 h

≡ d ^ ( m-1 ) (mod q) 。

加入模 q 後，我們已經不能通過 ts

≡ p (mod q ) 並不能說明 ts = p 。當 ts

≡ p (mod q ) 不成立時，則肯定 ts != p 。因此，當 ts

≡ p (mod q ) 時我們還需要進一步進行測試，看看 ts 是否等於 p ，因為 ts 可能是匹配的也有可能是偽匹配的。

這個演算法就是有點使用hash的思想了。把模式字串進行乙個預處理，並mod，主字串進行逐個進行簡單的hash對映，然後mod比較。

偽**如下

rabin-karp-matcher( t,p,d,q)
1  n ← length[ t ]
2  m ← length[ p]
3  h  ← d^(m-1) mod q
4  p  ← 0
5  t0 ← 0
6  for i ← 1 to  m         preprocessing(預處理)
7           do p ← (dp + p[i]) mod q
8                t0 ← (dt0 + t[i]) mod q
9      for s ← 0 to s-m     matching( 匹配 )
10          do if  p = t
11                then  if p[1..m] = t[s+1..s+m]        對p 和 t 中的每個字元進行判斷
12                     then   print "匹配"
13              if s < n - m
14                then t(s+1) ← (d (ts - t[s+1] h) + t[s+m+1]) mod q

**實現 *

*authored by laimingxing on: 2023年 03月 04日星期日 18:18:28 cst

* * @desc:

* * @history

// d = 256 ; q = 127

void rabin_karp_matcher( char *t, char *p, int q)

//slide the pattern over text one by one

for( i = 0; i <= n - m; i++)

//caluate hash value for next window of test:remove leading digit,

//add trailling digit

if( i < n - m )

} }

rabin-karp-matcher 的預處理時間為 o ( m ) ，其匹配時間在最壞情況下為 o ( ( n- m + 1) m) ，

雖然 rabin-karp-matcher 在最壞的情況下與樸素匹配一樣，但是實際應用中往往比樸素演算法快很多，應用還是很廣的。

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