貪心演算法活動選擇問題

前言：貪心演算法也是用來解決最優化問題，將乙個問題分成子問題，在現在子問題最優解的時，選擇當前看起來是最優的解，期望通過所做的區域性最優選擇來產生乙個全域性最優解。書中先從活動選擇問題來引入貪心演算法，分別採用動態規劃方法和貪心演算法進行分析。本篇筆記給出活動選擇問題的詳細分析過程，並給出詳細的實現**進行測試驗證。關於貪心演算法的詳細分析過程，下次在討論。

1、活動選擇問題描述

有乙個需要使用每個資源的n個活動組成的集合s=，資源每次只能由乙個活動使用。每個活動ai都有乙個開始時間si和結束時間fi，且0≤si

i。一旦被選擇後，活動ai就佔據半開時間區間[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重疊，則稱ai和aj兩個活動是相容的。該問題就是要找出乙個由互相相容的活動組成的最大子集。例如下圖所示的活動集合s，其中各項活動按照結束時間單調遞增排序。

從圖中可以看出s中共有11個活動，最大的相互相容的活動子集為:和。

2、動態規劃解決過程

（1）活動選擇問題的最優子結構

定義子問題解空間sij是s的子集，其中的每個獲得都是互相相容的。即每個活動都是在ai結束之後開始，且在aj開始之前結束。

為了方便討論和後面的計算，新增兩個虛構活動a0和an+1，其中f0=0，sn+1=∞。

結論：當i≥j時，sij為空集。

如果活動按照結束時間單調遞增排序，子問題空間被用來從sij中選擇最大相容活動子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的sij都是空集。

最優子結構為：假設sij的最優解aij包含活動ak，則對sik的解aik和skj的解akj必定是最優的。

通過乙個活動ak將問題分成兩個子問題，下面的公式可以計算出sij的解aij。

（2）乙個遞迴解

設c[i][j]為sij中最大相容子集中的活動數目，當sij為空集時，c[i][j]=0；當sij非空時，若ak在sij的最大相容子集中被使用，則則問題sik和skj的最大相容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。

當i≥j時，sij必定為空集，否則sij則需要根據上面提供的公式進行計算，如果找到乙個ak，則sij非空（此時滿足fi≤sk且fk≤sj），找不到這樣的ak，則sij為空集。

c[i][j]的完整計算公式如下所示：

3、貪心演算法解決過程

針對活動選擇問題，認真分析可以得出以下定理：對於任意非空子問題sij，設am是sij中具有最早結束時間的活動，那麼：

（1）活動am在sij中的某最大相容活動子集中被使用。

（2）子問題sim為空，所以選擇am將使子問題smj為唯一可能非空的子問題。

有這個定理，就簡化了問題，使得最優解中只使用乙個子問題，在解決子問題sij時，在sij中選擇最早結束時間的那個活動。

貪心演算法自頂向下地解決每個問題，解決子問題sij，先找到sij中最早結束的活動am，然後將am新增到最優解活動集合中，再來解決子問題smj。

基於這種思想可以採用遞迴和迭代進行實現。遞迴實現過程如下所示：

void recursive_activity_selector(int *s,int* f,int i,int n,int *ret)  }

迭代實現過程如下：

void greedy_activity_selector(int *s,int *f,int *ret)
}

完整c++**：

#includeusing namespacestd;
const int n=11; int ret[11]=; static int num=0; void recursive_activity_selector(int *s,int *f,int i,intn)  } void greedy_activity_selector(int *s,int *f,int i,intn)  m++; } } intmain() ; int f[n+1] = ; inti; recursive_activity_selector(s,f,0,n); cout<

執行結果：

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