(170331) [南開大學 2014 年高等代數考研試題] 設 $\sigma,\tau$ 為線性變換, 且 $\sigma$ 有 $n$ 個不同的特徵值. 證明: 若 $\sigma\tau=\tau\sigma$, 則 $\tau$ 可由 $i$, $\sigma$, $\sigma^2$, $\cdots$, $\sigma^$ 線性表出, 其中 $i$ 為恒等變換.
(170329) [南開大學 2014 年高等代數考研試題] 設 $a$ 為 $s\times n$ 矩陣. 證明: $$\bex s-\r(e_s-aa^t)=n-\r(e_n-a^ta). \eex$$
(170328) [南開大學 2014 年高等代數考研試題] 設 $n$ 階行列式 $$\bex \sev a_&\cdots&a_\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_&\cdots&a_ \ea}=1, \eex$$ 且滿足 $a_=-a_,\ i,j=1,2,\cdots,n$. 對任意的 $x$, 求 $n$ 階行列式 $$\bex \sev a_+x&\cdots&a_+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_+x&\cdots&a_+x \ea}. \eex$$
(170327) 設 $f$ 是 $[0,1]$ 上的連續可微函式, 滿足 $f(0)=f(1)=0$. 試證: $$\bex \sez^2\leq \f\int_0^1 |f'(x)|^2\rd x, \eex$$ 且等號成立當且僅當 $f(x)=ax(1-x)$, 其中 $a$ 是常數.
(170326) [熊金城點集拓撲習題3-2-01] 設 $(x,\rho)$ 是乙個度量空間, 證明對映 $\rho:x\times x\to \bbr$ 是乙個連續對映.
(170325) [熊金城點集拓撲習題3-1-02] 如果 $y$ 是拓撲空間 $x$ 的乙個開 (閉) 子集, 則 $y$ 作為 $x$ 的子空間時特別地被稱為 $x$ 的開 (閉) 子空間. 證明: (1) 如果 $y$ 是拓撲空間 $x$ 的乙個開子空間, 則 $a\subset y$ 是 $y$ 中的乙個開集當且僅當 $a$ 是 $x$ 的乙個開集; (2) 如果 $y$ 是拓撲空間 $x$ 的乙個閉子空間, 則 $a\subset y$ 是 $y$ 中的乙個閉集當且僅當 $a$ 是 $x$ 的乙個閉集.
(170324) [熊金城點集拓撲習題2-6-07] 設 $x$ 是乙個度量空間. 證明: 如果 $x$ 有乙個基只含有有限個元素, 則 $x$ 必為含有有限多個點的離散空間.
(170323) [熊金城點集拓撲習題2-5-02] 設 $x$ 是乙個拓撲空間, $a,b\subset x$. 證明: (1) $a^-=a\cup \p a$, $a^o=a\bs \p a$; (2) $\p (a^o)\subset \p a$, $\p (a^-)\subset \p a$; (3) $\p (a\cup b)\subset \p a\cup \p b$, $(a\cup b)^o\supset a^o\cup b^o$; (4) $\p a=\vno$ 當且僅當 $a$ 是乙個既開又閉的集合; (5) $\p(\p a)\subset \p a$; (6) $a\cap b\cap \p (a\cap b)=a\cap b\cap (\p a\cup \p b)$.
(170322) [熊金城點集拓撲習題2-4-01] 求集合的導集和閉包: (1) 設 $a$ 是有限補空間 $x$ 中的乙個無限子集, 求 $a$ 的導集和閉包; (2) 設 $a$ 是可數補空間 $x$ 中的乙個不可數子集, 求 $a$ 的導集和閉包; (3) 求實數空間 $\bbr$ 中的有理數集 $\bbq$ 的導集和閉包; (4) 設 $x^*$ 是 $\s 2.2$ 習題 9 中定義的拓撲空間, 求單點集 $\sed$ 的導集和閉包.
(170321) [熊金城點集拓撲習題2-2-10] 試證: (1) 從拓撲空間到平庸空間的任何對映都是連續對映; (2) 從離散空間到拓撲空間的任何對映都是連續對映.
(170320) [熊金城點集拓撲習題2-1-01] 設 $\si,\si':\bbr\times \bbr\to\bbr$ 使得對任意 $x,y\in\bbr$, 有 $\si(x,y)=(x-y)^2$ 和 $\si'(x,y)=|x^2-y^2|$. 證明 $\si$ 和 $\si'$ 都不是 $\bbr$ 的度量.
(170319) 設 $a$ 為 $m\times n$ 矩陣, $\r(a)=k$, 證明: (1) 若 $a=a_1+a_2+\cdots+a_l$, 且 $\r(a_i)=1, i=1,2,\cdots,l$, 則 $l\geq k$; (2) 存在秩為 $1$ 的矩陣 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 使得 $a=a_1+a_2+\cdots+a_k$.
(170318) [熊金城點集拓撲習題1-7-02] 設 $a$ 是實數集合 $\bbr$ 的乙個子集, 她包含著某個非退化的開區間, 即存在 $a,b\in\bbr$, $a
(170317) [熊金城點集拓撲習題1-5-01] 設 $x,y$ 是兩個集合, $f: x\to y$. 試證: (1) 對於任意 $a\subset x$, $$\bex a\subset f^(f(a)); \eex$$ (2) 對於任意 $b\subset y$, $$\bex b\supset f(f^(b)), \eex$$ (3) $f$ 是乙個滿射當且僅當 $$\bex b= f(f^(b)) \eex$$ 對於任何 $b\subset y$ 成立.
(170316) [熊金城點集拓撲習題1-4-04] 實數集合 $\bbr$ 中第乙個關係 $r$ 定義為 $$\bex r=\sed. \eex$$ 證明 $r$ 是乙個等價關係.
(170315) [熊金城點集拓撲習題1-3-03] 設 $x=\sed$, $y=\sed$, $r=\sed$, $a=\sed$, $b=\sed$. 試求 $r(a)$, $r^(b)$, $r$ 的值域與定義域.
(170314) [南京師範大學2023年常微分方程複試試題] 設 $f(x)$ 是 $(a,+\infty)$ 上的連續函式, 且 $$\bex \vlmpf(x)=l, \eex$$ $x_0>a$ 是一常數, $k$ 是一正常數. 求初值問題 $$\bex \seddm \eex$$ 的解, 並計算該解當 $x\to +\infty$ 時的極限.
(170313) [南京師範大學2023年常微分方程複試試題] 當 $a$ 取何值時, 邊值問題 $$\bex \seddm \eex$$ 沒有解.
(170312) 設 $r$ 是集合 $x$ 上的等價關係; $p:x\to x/r$ 是自然對映; 對 $i=1,2$, $p_i:x\times x\to x$ 是第 $i$ 個投射, 也即 $$\bex p_1(x,y)=x,\quad p_2(x,y)=y,\ \forall\ (x,y)\in x\times x. \eex$$ 試證: $$\bex p^[p(a)]=p_2[p_1^(a)\cap r],\ \forall\ a\subset x. \eex$$ (170312解答)
(170311) 試證: $$\bex \arctan a-\arctan b>\f\sqrt},\quad \forall\ a>b>0. \eex$$
(170310) a represented matroid is a pair $m=(e,u)$ consisting of a finite set $e$ together with a subspace $u$ of $\bbf^e$. we say that a matrix $a$ generates a represented matroid $m=(e,u)$ if $u$ is the row-space of $a$; the represented matroid generated by $a$ is denoted $m(a)$. 不是很懂, 但是也可稍微翻譯下: 乙個可表示擬陣 $m=(e,u)$ 由乙個有限集 $e$ 和 $\bbf^e$ 的乙個子空間構成. 我們說乙個矩陣 $a$ 生成乙個可表示擬陣 $m=(e,u)$ 如果 $u$ 是 $a$ 的行向量; 記 $a$ 生成的可表示擬陣為 $m(a)$. 理解: 首先, 要知道 $\bbf^e$ 是指集合 $e$ 到數域 $\bbf$ 的所有對映全體構成的集合, 也即 $$\bex \bbf^e=\sed. \eex$$ (實變或拓撲我不太記得是否用過這個記號...). 其次, 數域 $\bbf$ 上的 $m\times n$ 矩陣 $a$ 如果寫成行向量的形式 $$\bex a=\***m, \eex$$ 那麼可選 $$\bex e=\sed,\quad u=\sed, \eex$$ 其中每個 $\al_i$ 因為有 $n$ 個分量 $(a_,\cdots,a_)$, 而可看成 $e$ 到 $\bbf$ 的對映 $$\bex \ba \al_i:&e&\to&\bbf\\ &j&\mapsto&a_. \ea \eex$$ 這樣, $\al_i\in \bbf^e$, $u\subset\bbf^e$.
(170309) 相遇和作別有很多種, 最棒的莫過於溫暖一笑, 急人之難, 臨去時揮一揮手, 道聲再見.
(170308) 生活就是一種永恆的沉重的努力. (公尺蘭.昆德拉)
(170307) 年輕人不守時是永遠遲到; 老年人不守時是永遠早到.
(170306) 很多時候, 我們本來是上網找乙個東西, 結果看著看著, 看別的東西去了, 乙個廣告有興趣, 點開來; 乙個沒見過的詞, 查下; 等等. 結果半天後, 自己要找的東西還沒開始弄了. 這就是知識的迷宮. 為此, 一定要有明確的目標, 摒棄一切雜念.
(170305) 禮尚往來, 來而不往非禮也. 注重的是禮節和禮數, 而非禮物的價值本身.
(170304) 在傳統熟人社會, 決定人們關係的主要是血緣和地緣這種天然紐帶; 但在計畫經濟體制下, 能幫你排除困難的人或能給你帶製造困難的人, 才是你最重要的社會資源.
(170303) 人世間最美好的禮物是來自陌生人的善意.
(170302) 學生要體驗 ``學而時習之'' 的快樂, 必須放棄手機拍照而手寫. 老師要做到 ``溫故而知新'', 也要少用ppt 而多板書.
(170301) 設矩陣 $a=(a_)_$, $b=(b_)_$, 定義 $c=(a_b_)_$. 證明: 若 $a,b$ 半正定, 則 $c$ 半正定.
豆豆趣事 2023年03月
b 引言 b 這個月，突然感覺了豆豆的心智好像躍公升了一級。b 2017 03 01 b 豆媽從小給豆豆養成了愛看書的好習慣。家裡的書架上大部分都是豆豆的書，全面佔據了書架上不高 不低的好位置。今天給豆豆好了一套書 小牛頓科學館 豆豆很喜歡。豆豆，要認真看呀，爸爸花了400元呢。豆豆到里屋拿出自己的...
跟錦數學2023年下半年 不再更新網頁版
170701 南開大學2017數分 設 dps n f n 1,2,cdots 求證 數列 sed 收斂.solution 170702 南京大學2013數分 在 bbr 4 中定義如下有界區域 om bex om sed leq 1 eex 計算 om 的體積.solution 170703 南京...
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