約瑟夫環問題

以下摘自：

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

......

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！

假如我們已經知道了n -1個人時，最後勝利者的編號為x，利用對映關係逆推，就可以得出n個人時，勝利者的編號為 (x + k) % n。其中k等於m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

摘上面這一段是因為這裡有一點對我很有用，就是用（x+k）%n推出（x+m）%n，看了其他文章都是用的不難看出這樣的語句來解釋，但我覺得挺難看出的啊（可能是我數學落下太久了吧），這裡用數學公式推出了這一結論。得到最終結果：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]

遞推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1。

這就是乙個想求n，先求n-1，想求n-1，得求n-2，求n-2又需要n-3，一直到1.

#include int
main()
printf(
"\nthe winner is %d\n
", s + 1
);    }
}

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