本講教育資訊】
一. 教學內容：
導數——平均變化率與瞬時變化率
二. 本週教學目標：
1、了解導數概念的廣闊背景，體會導數的思想及其內涵．
2、通過函式圖象直觀理解導數的幾何意義．
三. 本週知識要點：
（一）平均變化率
1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖
2、一般地,函式f（x）在區間[x1，x2]上的平均變化率
平均變化率是曲線陡峭程度的「數量化」，曲線陡峭程度是平均變化率「視覺化」．
（二）瞬時變化率——導數
1、曲線的切線
如圖，設曲線c是函式的圖象，點是曲線 c 上一點作割線pq，當點q 沿著曲線c無限地趨近於點p，割線pq無限地趨近於某一極限位置pt我們就把極限位置上的直線pt，叫做曲線c在點p 處的切線
割線pq的斜率為，即當時，無限趨近於點p的斜率．
2、瞬時速度與瞬時加速度
1）瞬時速度定義：運動物體經過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度.
2）確定物體在某一點a處的瞬時速度的方法：
要確定物體在某一點a處的瞬時速度，從a點起取一小段位移aa
1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經過a點的瞬時速度.
當位移足夠小時，物體在這段時間內的運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等於物體經過a點的瞬時速度．
我們現在已經了解了一些關於瞬時速度的知識，現在已經知道物體做直線運動時，它的運動規律用函式表示為s＝s（t），也叫做物體的運動方程或位移公式，現在有兩個時刻t
0，t0+δt，現在問從t
0到t0+δt這段時間內，物體的位移、平均速度各是：
位移為δ
s＝s（t
0+δt）－s（t
0）（δ
t稱時間增量）
平均速度
根據對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等於瞬時速度.
現在是從t
0到t0+δt，這段時間是δ
t. 時間δ
t足夠短，就是δ
t無限趨近於0．當δ
t→0時，位移的平均變化率無限趨近於乙個常數，那麼稱這個常數為物體在t＝t
0的瞬時速度
同樣，計算運動物體速度的平均變化率，當δ
t→0時，平均速度無限趨近於乙個常數，那麼這個常數為在t＝t
0時的瞬時加速度．
3、導數
設函式在（a,b）上有定義，．若無限趨近於0時，比值 無限趨近於乙個常數a，則稱f（x）在x＝處可導，並稱該常數a為函式在處的導數，記作．
幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率．
導函式（導數）：如果函式在開區間內的每點處都有導數，此時對於每乙個，都對應著乙個確定的導數，從而構成了乙個新的函式，稱這個函式為函式在開區間內的導函式，簡稱導數，也可記作．
【典型例題】
例1、水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s後容器甲中水的體積（單位：），計算第乙個10s內v的平均變化率．
解：在區間[0，10]上，體積v的平均變化率為
即第乙個10s內容器甲中水的體積的平均變化率為．
例2、已知函式，，分別計算在區間[－3，－1]，[0，5]上函式及的平均變化率．
解：函式在[－3，－1]上的平均變化率為
在[－3,－1]上的平均變化率為
函式在[0，5]上的平均變化率為
在[0，5]上的平均變化率為
例3、已知函式，分別計算函式在區間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率．
解：函式在區間[1，3]上的平均變化率為
函式在[1，2]上的平均變化率為
函式在[1，1.1]上的平均變化率為
函式在[1，1.001]上的平均變化率為
例4、物體自由落體的運動方程s＝s（t）＝gt
2，其中位移單位m，時間單位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3這一時段的速度.
解：取一小段時間［3，3+δt］，位置改變量δ
s＝g（3+δt）2－g·32＝（6+δt）δ
t，平均速度g（6+δt）
當δt無限趨於0時，無限趨於3g＝29.4 m/s．
例5、已知質點m按規律s＝2t
2+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），
（1）當t＝2，δ
t＝0.01時，求.
（2）當t＝2，δ
t＝0.001時，求.
（3）求質點m在t＝2時的瞬時速度.
分析：δs即位移的改變量，δ
t即時間的改變量，即平均速度，當δ
t越小，求出的越接近某時刻的速度.
解：∵＝4t+2δt
∴（1）當t＝2，δ
t＝0.01時，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．
（2）當t＝2，δ
t＝0.001時，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．
（3）δt0
，（4t+2δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s
例6、曲線的方程為y＝x
2+1，那麼求此曲線在點p（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程．
解：設q（1+，2+），則割線pq的斜率為：
斜率為2
∴切線的斜率為2．
切線的方程為y－2＝2（x－1），即y＝2x．
【模擬試題】
1、若函式f（x）＝2x2+1，圖象上p（1,3）及鄰近點q（1+δx,3+δy）， 則＝（ ）
a. 4 b. 4δx c. 4+2δx d. 2δx
2、一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那麼時，為（ ）
a. 從時間到時，物體的平均速度； b. 在時刻時該物體的瞬時速度；
c. 當時間為時物體的速度； d. 從時間到時物體的平均速度
3、已知曲線y＝2x
2上一點a（1，2），求（1）點a處的切線的斜率.（2）點a處的切線方程.
4、求曲線y＝x
2+1在點p（－2，5）處的切線方程．
5、求y＝2x
2+4x在點x＝3處的導數．
6、一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s＝s（t）＝t
2（位移單位：m，時間單位：s），求小球在t＝5時的瞬時速度
7、質點m按規律s＝2t
2+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），求質點m在t＝2時的瞬時速度．
【試題答案】
1、b
2、b3、解：（1）時，k＝
∴點a處的切線的斜率為4.
（2）點a處的切線方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2
4、解：時，k＝
∴切線方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.
5、解：δ
y＝2（3+δx）2+4（3+δx）－（2×32+4×3）＝2（δ
x）2+16δx
，＝2δx+16
∴時，y′|x
＝3＝16
6、解：時，瞬時速度v＝（10+δt）＝10 m/s.
∴瞬時速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.
7、解：時，瞬時速度v＝＝（8+2δt）＝8cm/s
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