二、3d空間的運動模型
本文旨在對計算機視覺中常用的運動型別進行總結——包括2d平面的運動和3d空間的運動。
**: image alignment and stitching: a tutorial 2006
2d平面的運動一般指對影象的變換，主要包括translation(平移)、rotation(旋轉)、euclidean(剛體運動)、similarity(相似)、affine(仿射)以及projective(射影) 。
上圖為2d平面的基本運動模型示意圖。
表示式非齊次形式：
(1) x′
=x+t
\bold} = \bold+ \bold \tag
x′=x+t
(1)
自由度translation 具有2個dof(degree of free，自由度)：tx,
tyt_x, t_y
tx,ty
。因此乙個平移變換只需要一對對應點(correspondence)就能唯一確定。translation 具有2個dof(degree of free，自由度)：tx,
tyt_x, t_y
tx,ty
。因此乙個平移變換只需要一對對應點(correspondence)就能唯一確定。
不變數平移變換不會改變物體的任何性質，因此平行、長度、面積、夾角等性質都不會改變。
表示式r(θ
)=[cos(
θ)−sin(
θ)sin(θ
)cos(
θ)]r(\theta) = \left[ \begin &\cos(\theta) \ &-\sin(\theta) \\ &\sin(\theta) \ &\cos(\theta) \end \right] \tag
r(θ)=[
cos(θ
)sin(θ
)−sin(θ
)cos(θ
)](
2)旋轉矩陣 r(θ
)r(\theta)
r(θ)
表示在二維平面逆時針旋轉 θ
\theta
θ 角度。旋轉矩陣是一種正交歸一化矩陣，具有很好的性質。
非齊次形式：
(3) x′
=r(θ
)⋅x\bold} = r(\theta) \cdot \bold \tag
x′=r(θ
)⋅x(
3)自由度rotation 只有1個dof：θ
\theta
θ ，因此理論上來說也只需要一對點對即可求解，但是實際中一般很少出現純旋轉，而且點對之間總是存在雜訊，因此很少有只使用乙個點對求解旋轉的。
不變數旋轉和平移類似，也不會改變物體的任何性質，因此平行、長度、面積、夾角等性質都不會改變。
這是一種剛體運動 ，是平移和旋轉的復合。
表示式非齊次形式：
(4) x′
=r(θ
)⋅x+
t\bold} = r(\theta) \cdot \bold + \bold \tag
x′=r(θ
)⋅x+
t(4)
即先對點做旋轉，再將其平移 。
自由度3個dof：θ,t
x,yy
\theta, t_x, y_y
θ,tx,
yy 。需要2對點對進行求解。
不變數因為旋轉和平移都不會改變物體的性質，因此平行、角度、面積等性質都不會發生改變。
是對剛體運動的乙個擴充套件，在旋轉矩陣上增加了乙個全域性 scale 係數
表示式非齊次形式：
(5) x′
=sr(
θ)⋅x
+t\bold} = sr(\theta) \cdot \bold + \bold \tag
x′=sr(
θ)⋅x
+t(5
)其中 s∈r
+s \in r^
s∈r+
為乙個標量。
自由度4個dof：s,θ
,tx,
yys, \theta, t_x, y_y
s,θ,tx
,yy
。需要2對點對進行求解。
不變數因為 s
ss 會對影象各個發現進行均勻縮放，所以面積會發生改變，但是面積比、平行、夾角等性質依然不變。
表示式非齊次形式：
(6) x′
=a2×
2⋅x+
t\bold} = a_ \cdot \bold + \bold \tag
x′=a2×
2⋅x
+t(6)a2
×2a_a2
×2 中的元素為任意標量，它是乙個非奇異矩陣。
自由度6個dof：a,t
x,ty
a, t_x, t_y
a,tx,
ty 。需要3對點對進行求解。
不變數因為仿射變換包含非均勻縮放，所以長度比和夾角以及面積等都會發生改變，但是 平行線、平行線段的長度比、面積比保持不變。
2d運動中最常見的運動形式。是齊次座標的一般非線性變換 。
表示式
(7) xˉ
′=[a
2×2t
2×1v
1×31
]xˉ\bold}^ = \left[\begin &\bold_ \ & \bold_ \\ & \bold_ \ & 1 \end\right] \bold} \tag
xˉ′=[
a2×2
v1×
3t
2×1
1]x
ˉ(7)
其中 x
ˉ\bold}
xˉ表示 x
\bold
x 的齊次形式。和齊次形式的仿射變換相比，射影變換的本質區別在於 v1×
3\bold_
v1×3
不再是零向量。
自由度8個dof：a,v
1×3,
tx,t
ya, v_, t_x, t_y
a,v1×3
,tx
,ty
。需要4對點對進行求解。
不變數物體的所有性質都會發生改變。
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