1 並集 (union)
(1) 定義: $$\bex \cup_a_\lambda =\sed. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \vla=\bbz^+,\quad a_\lambda=\sed;m\in\bbz},\quad \cup_a_\lambda=\bbq. \eex$$
(3) 例 2: $$\bex \cup_^\infty \sez,b-\frac}=(a,b). \eex$$
(4) 例 3: $$\bex \cup_^\infty \sed}=\sed. \eex$$
2 交集 (intersection)
(1) 定義: $$\bex \cap_a_\lambda =\sedx\in a_\lambda}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \cap_^\infty\***,b+\frac}=[a,b]. \eex$$
(3) 例 2: 設 $f_n$ 是 $e$ 上的函式列, 則對 $\forall\ c\in\bbr$, $$\bex \sed=\cap_^\infty\sed; \eex$$ $$\bex \sed,\quad a^c=\sed\quad\***}. \eex$$
(6) de morgan 律: $$\bex \***a_\lambda}^c =\cup_a_\lambda^c\quad\***}; \eex$$ $$\bex \***a_\lambda}^c =\cap_a_\lambda^c\quad\***}. \eex$$
4 數學語言的集合表示
(1) 關鍵點: $$\bex \mbox\lra\mbox,\quad \mbox\lra\mbox. \eex$$
(2) 例 1: $$\beex \bea &\quad\lim_a_n=a\\ &\lra \forall\ k\in\bbz^+,\ \exists\ n\in\bbz^+,\ \forall\ n\geq n,\mboxa\in \***,a_n+\frac}\\ &\ra a\in \cap_^\infty \cup_^\infty\cap_^\infty \***,a_n+\frac}. \eea \eeex$$
再由極限的唯一性即知 $$\bex \sed=\cap_^\infty \cup_^\infty\cap_^\infty \***,a_n+\frac}. \eex$$
(3) 例 2: $$\bex \sed\mbox} =\cup_\cap_^\infty \sed. \eex$$
(4) 例 3: $$\bex \sedf_n(x)=0} =\cap_\cup_\cap_\sed. \eex$$
(5) 思考題: $$\bex \sed\mbox}=? \eex$$ $$\bex \sedf_n(x)\neq 0\mbox}=? \eex$$
5 上、下極限集
設 $\sed$ 是一集列.
(1) 定義: $\sed$ 的上限集 $$\beex \bea \varlimsup_a_n &=\sedn,\mboxx\in a_n}\\ &=\sed\\ &=\cap_^\infty\cup_^\infty a_m. \eea \eeex$$
(2) 定義: $\sed$ 的下限集 $$\beex \bea \varliminf_a_n &=\sedn\mbox, x\in a_n}\\ &=\sed x\in a_m}\\ &=\cup_^\infty\cap_^\infty a_m; \eea \eeex$$
(3) 例 1: $$\beex\bea \sed&=\cap_^\infty \cup_^\infty\cap_^\infty \***,a_n+\frac}\\&=\cap_^\infty \varliminf_\***,a_n+\frac}. \eea\eeex$$
(4) 例 2: 設 $$\bex a_=\sez},\quad m=0,1,2,\cdots; \eex$$ $$\bex a_=\sez},\quad m=1,2,3,\cdots. \eex$$
求 $\dpsa_n,\ \varliminf_a_n}$.
(5) 關係:
$$\bex \cap_^\infty a_n\subset \varliminf_a_n \subset \varlimsup_a_n \subset \cup_^\infty a_n. \eex$$
(6) 集列極限存在的定義: $$\bex \lim_a_n\mbox\lra \varliminf_a_n=\varlimsup_a_n. \eex$$
6 單調集列
設 $\sed$ 是一集列.
(1) 若 $a_1\subset a_2\subset a_3\subset\cdots$, 則稱 $\sed$ 為單增集列.
(2) 若 $a_1\supset a_2\supset a_3\supset\cdots$, 則稱 $\sed$ 為單減集列.
(3) 若 $a_n$ 單增, 則 $$\bex \lim_a_n=\cup_^\infty a_n; \eex$$ 若 $a_n$ 單減, 則 $$\bex \lim_a_n=\cap_^\infty a_n. \eex$$
(4) 例 1: $$\beex \bea \sed &=\cup_^\infty \sed}\\ &=\lim_\sed}. \eea \eeex$$
7 集合的直積 (cartesian product)
(1) 定義: 設 $\sed_^n$ 是集合, 則稱 $$\bex \prod_^n a_i=a_\times \cdots\times a_n=\sed \eex$$
為 $a_1,\cdots,a_n$ 的直積; 類似的, $$\bex \prod_^\infty a_i=\sed, \eex$$ $$\bex a^n=\underbrace_}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \bbr^\infty=\sed \eex$$
是實數列全體.
020 集合的運算 py
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