一、引用
一般dp
方程可以轉化成
dp[i]=f[j]+x[i]
的形式，其中
f[j]
中儲存了只與
j相關的量。這樣的
dp方程可以用單調佇列進行優化，從而使得
o(n^2)
的複雜度降到
o(n)
。可是並不是所有的方程都可以轉化成上面的形式，舉個例子：
dp[i]=dp[j]+(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])
。如果把右邊的乘法化開的話，會得到
x[i]*x[j]
的項。這就沒辦法使得
f[j]
裡只存在於
j相關的量了。於是上面的單調佇列優化方法就不好使了。這裡可以考慮另一種優化方法——斜率優化。
二、分析
形如下面這樣的
dp方程f[i]=min，a[i]是和
i有關的函式，
x[j],b[j]是和j
有關的函式或常數，求解這個問題樸素是
o(n^2)
的，可以將它優化到
o(n)
或o(nlogn)，可以把它改寫成：-a[i]*x[j]+f[i]=b[j]（聯想一元一次方程：
y=k*x+b
），把-a[i]
看做斜率，
f[i]
看做截距，每乙個決策相當於平面上乙個點，最優決策顯然在平面點集的凸包上，要求
f[i]
的最小值，就相當於將一條斜率為
-a[i]
的直線不斷向上平移，碰到的第乙個點就是截距最小的點，也就是
f[i]
的最優決策
①如果橫座標和斜率均單調：就可以維護乙個單調佇列（斜率是單調的，即最優解也是單調的，類似於決策單調），隊首指標不斷往後走，每個點只會訪問一次，複雜度為o(n)
②如果均不單調：可以排序使得其中乙個單調，否則無法用斜率優化的dp做
以上說的是取min，那麼維護的是下凸殼，取max的話是維護上凸殼
如果方程是f[i]=min的話，可以將其變為f[i]=min(a[i]/b[i]*x[j]+y[j])*b[i]
三、應用
斜率優化，亦就是說把決策與決策之間表示成乙個類似斜率(y1-y2)/(x1-x2)的式子，進一步分析其中的單調性，並用佇列維護其有用決策。因此斜率優化又稱為佇列優化。
例1.
usaco
土地購買
acquire
【問題描述】給出n
個w*h
的矩形，把矩陣任意分組，每組的費用為組內最大長與最大寬的乘積
maxw*maxh
，問最小費用是多少。
【分析】
可以容易想到若wj<=wi且hj<=hi則j可以不考慮，然後按w公升序排序且同時h滿足單調下降，dp求最小費用，用f(i)記錄前i個矩形分組的最小費用，則有：f[i]=min(f[j]+w[j+1]*h[i]),j=1..i-1(w[j+1]為本組最寬的，h[i]為本組最高的)
但這樣會超時，需要優化：
左圖為原矩形排列，右圖紅框表示以i結束的最優分組，思考：藍框會是i+1的最優分組嗎？答案是不會的。
若藍框是i+1的最優分組，則：f[j-1] + w[j]*h[i+1] < f[j] + w[j+1]*h[i+1] ①
而由紅框是i的最優分組，有：f[j] + w[j+1]*h[i] < f[j-1] + w[j]*h[i] ②
聯立①②，得：w[j]*h[i+1] + w[j+1]*h[i]
但這明顯與四邊形不等式矛盾，也就是說：最優決策j具有單調性。
進一步觀察：設j和k是不同的兩種決策，設j
例2.
鋸木廠選址
ceoi2004
【問題描述】
山上有n棵樹呈直線分布，質量為w[1..n]，離1號樹的距離為d[1..n]，現在山底有一伐木場，且準備在山上建第二個伐木場，問建在**運輸木材的費用最低。1單位費用=1單位質量*1單位距離。
【分析】
容易想到伐木場從不建在兩樹間，於是設sumw[i]為1..i的質量和，c[i]為1..i運到i的費用，w[i,j]為j+1..i 運到i的費用，於是容易得到：
sumw[i] = ∑(j=1..i)w[j] ①
c[i] = ∑(j=1..i)w[j] * (d[i] - d[j]) ②
= c[i-1] + sumw[i-1] * (d[i] - d[i-1])
w[i,j] = c[i] - c[j] - sumw[j] * (d[i] - d[j]) ③
設f(i)為第二個伐木場在i的最小費用，於是有：
f(i)=min( c[j] + w[i,j] + w[n+1,i] ) (j=1..i-1) ④
和上一題相似，設j,k是兩個不同的決策
c[j] + w[i,j] + w[n+1,i]
若⑤成立則j優，否則k優。
把 ③ 代入 ⑤ 並展開化簡得： (sumw[j]*d[j] - sumw[k]*d[k]) / (sumw[j] - sumw[k]) > di ⑥
設g(j,k)為不等式⑥的左邊，其意義為：(sumw[j], sumw[j]*d[j])與(sumw[k], sumw[k]*d[k])連線的斜率，若g(j,k)>di，則對於i而言j比k更優。與上一題相似也是把(sumw[j],sumw[j]*d[j])放入乙個佇列，並維護其單調性。
例3.
貨幣兌換
boi2003
【問題描述】
n天內分別獲得a[1..n]的a幣(a[i]∈z)，第i天a幣兌換為b幣的匯率為1a:ib，每次兌換收手續費tb，問n天後全部兌換成b幣最多是多少。
【分析】
設s[1..n]為a[1..n]的部分和陣列，很容易寫出方程：
f[i]=max(f[j]+(s[i]-s[j])*i-t)
但這會超時，能否像上面幾題優化呢？答案是還不行的，由於a[i]∈z，也就是說s沒有單調性，會出現的問題是：維護佇列單調性時，新插入的點也許會到了折線的中間，從而無法維護。
這個方法似乎就這樣被否定了，但實際並非如此：
觀察到1a:ib，也就是說a幣越往後越值錢，設在某個兌換點時兌換的金額為ma，①若m>0，可以留到下乙個兌換點兌換，這樣不僅兌換b幣更多，而且省下t b的手續費；②若m<0，是否應該立刻換成b幣以防止a幣公升值虧得更多呢？也不，還要考慮手續費t b的存在，這時就要dp處理了。
也就是說，當∑(k=i..j)a[k]>0時，i..j不可能成為兌換點（留到明天更值錢），否則需要再考慮是否兌換(考慮t b的存在)，於是，我們可以把s[1..n]壓縮一下成為s'[1..n]，其中s'[1..n-1]滿足恒為負且單調遞減，於是就可以用斜率優化解決了。
四、小結
斜率優化是一種廣泛應用於
dp以及
dp以外的優化方法，一般因其最優決策具有單調性，在進行第
i次決策時可以利用前面已得到的資訊以減少不必要的冗餘計算。減少冗餘的思想很重要。
斜率優化還蘊含著一種數形結合的思想，一般對於每乙個決策可看成平面上的點，兩點間的斜率體現出兩決策間的優劣關係，維護佇列單調性在圖形上就相當於維護乙個單調上
/下凸折線。
通過學習斜率優化，給了我們一種新的思路：像
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貨幣兌換
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一題，看上去和斜率優化存在極嚴重的矛盾，但通過仔細觀察、分析，可以把原題等價轉化，而得到一些新的性質，以滿足特定的需要。
斜率優化動態規劃
fi min fj s i2 sj l 2 2 si s j l fi min f j s i2 sj l 2 2si sj l 形如這個式子關於i的項與關於j的項混雜 相乘 的狀態轉移方程,可以使用斜率優化來加速 接下來以優化這個式子為例說說斜率優化.將上方給出的式子去掉 min min,僅關於j...
動態規劃 單調斜率優化DP
acwing 1087.修剪草坪 旅行商問題 輸入樣例 641 351 23 輸出樣例 acwing 1087.修剪草坪 動態規劃 f i max f i 1 f i j 1 sum i j sum i f i 表示從前i個中選，且合法的方案數。令x i j,則有 f i min f i 1 f x...
演算法 動態規劃之斜率優化
斜率優化通常使用單調佇列輔助進行實現，用於優化 dp 的時間複雜度。使用單調佇列優化 dp 通常可以解決型如 dp i min f j g i 的狀態轉移方程。其中 f i 是只關於 i 的函式，g j 是只關於 j 的函式。樸素的解決方法是在第二層迴圈中列舉 j 來實現最小值，時間複雜度為 o n...