三點確定乙個圓的計算方法
最近在寫的乙個軟體需要根據三個座標點來計算乙個圓。因此花了點時間推導了相關的公式。這個推導不算太難，放在這裡主要是做個備忘。
我們設乙個圓的圓心座標為 (x 0 ,y) (x0,y)(x_0, y)，半徑為 r rr。那麼這個圓的方程可以寫為：
(x−x 0 ) 2 +(y−y 0 ) 2 =r 2 (x−x0)2+(y−y0)2=r2
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
在這個圓上隨便取三個點，設這三個點的座標分別是 (x 1 ,y 1 ) (x1,y1)(x_1, y_1)，(x 2 ,y 2 ) (x2,y2)(x_2, y_2)，(x 3 ,y 3 ) (x3,y3)(x_3, y_3)。那麼有：
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ (x 1 −x 0 ) 2 +(y 1 −y 0 ) 2 =r 2 (x 2 −x 0 ) 2 +(y 2 −y 0 ) 2 =r 2 (x 3 −x 0 ) 2 +(y 3 −y 0 ) 2 =r 2 (1)(2)(3)
(x_1 - x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 = r^2 & (1)\\
(x_2 - x_0)^2 + (y_2-y_0)^2 = r^2 & (2)\\
(x_3 - x_0)^2 + (y_3-y_0)^2 = r^2 & (3)
\end
公式（1）（2）相減，（1）（3）相減之後經過化簡可以得到：
(x 1 −x 2 )x 0 +(y 1 −y 2 )y 0 =(x 2 1 −x 2 2 )−(y 2 2 −y 2 1 )2 (x 1 −x 3 )x 0 +(y 1 −y 3 )y 0 =(x 2 1 −x 2 3 )−(y 2 3 −y 2 1 )2 (x1−x2)x0+(y1−y2)y0=(x12−x22)−(y22−y12)2(x1−x3)x0+(y1−y3)y0=(x12−x32)−(y32−y12)2
(x_1 - x_2) x_0 + (y_1- y_2) y_0 = \frac\\
(x_1 - x_3) x_0 + (y_1- y_3) y_0 = \frac\\
x 0 ,y 0 x0,y0x_0,y_0有唯一解的條件是係數行列式不為 0 00：
∣ ∣ ∣ (x 1 −x 2 )(x 1 −x 3 ) (y 1 −y 2 )(y 1 −y 3 ) ∣ ∣ ∣ ≠0 |(x1−x2)(y1−y2)(x1−x3)(y1−y3)|≠0
\begin
(x_1 - x_2) & (y_1- y_2) \\
(x_1 - x_3) & (y_1- y_3)
\end \neq 0
簡單變變型也就是：
x 1 −x 2 y 1 −y 2 ≠x 1 −x 3 y 1 −y 3 x1−x2y1−y2≠x1−x3y1−y3
\frac \neq \frac
這樣寫幾何含義就很明顯了，三點不能共線。
設:a=x 1 −x 2 b=y 1 −y 2 c=x 1 −x 3 d=y 1 −y 3 e=(x 2 1 −x 2 2 )−(y 2 2 −y 2 1 )2 f=(x 2 1 −x 2 3 )−(y 2 3 −y 2 1 )2 a=x1−x2b=y1−y2c=x1−x3d=y1−y3e=(x12−x22)−(y22−y12)2f=(x12−x32)−(y32−y12)2a = x_1-x_2\\
b = y_1-y_2\\
c = x_1-x_3\\
d = y_1-y_3\\
e = \frac\\
f = \frac
那麼 :
x 0 =−de−bfbc−ad y 0 =−af−cebc−ad x0=−de−bfbc−ady0=−af−cebc−ad
x_0 = -\frac\\
y_0 = -\frac
有了 x 0 x0x_0 和 y 0 y0y_0 的值後，帶入(1) 式就可以得到 r rr的值。至此，三點確定圓的問題就解決了。
下面是個 c++ **（用到了qt 的 qpointf 型別）：
#include
#include
#include
#include
qpointf tcircle(qpointf pt1, qpointf pt2, qpointf pt3, double &radius)
double x0 = -(d * e - b * f) / det;
double y0 = -(a * f - c * e) / det;
radius = hypot(x1 - x0, y1 - y0);
return qpointf(x0, y0);
}
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