鍊錶環路檢測及環入口定位是乙個非常經典的演算法問題，它可在死鎖檢測等實際應用場景發揮重要作用。想必大家都知道這個問題應該使用快慢指標去求解，因為它具有最優的時間複雜度o(n)。但是大家可能對快慢指標的數學原理不是很清楚，為啥它能達到最優。詳細讀了這篇文章，大家必定豁然開朗，掌握快慢指標背後的數學原理。
我們直接來看圖。
先講一下鍊錶環路檢測的原理，相比環入口定位，原理比較簡單。
起點設定兩個快慢指標，同時開始往後跑，每跑一次必須檢測快指標是否到達鍊錶末尾(下乙個節點值為null)，如果到達鍊錶末尾則證明該煉表無環。如果該鍊錶存在環，則快慢指標總有邂逅（相遇）的那一刻，由此每跑一次，除了檢測快指標是否到達鍊錶末尾，還需檢測快慢指標所在節點是否相同，相同則代表兩指標相遇了，即環存在。為什麼環存在時快慢指標一定會相遇呢，想必不用過多解釋了，舉個簡單生活中例子，兩個人在足球場跑步，同一起點出發，跑的快的人一定會在某一時刻追上跑的慢的人（多跑一圈）。
現在來分析環入口定位的原理。
環入口定位的前提是先找到快慢指標相遇點，即上述所講的鍊錶環檢測操作（注意存在乙個限定條件，快指標的步長必須為2，慢指標步長必須為1）。當找到相遇點後，在起點處和相遇點處分別設定指標p1和p2，步長均為1，它們同時往後跑，當p1，p2相遇時，它們的相遇點便是環入口。
現在來一波數學推理，證明一下上述演算法的正確性。
x為起點至環入口點的距離，y為環入口至快慢指標相遇點的距離，z為快慢指標相遇點至環入口的距離。
假設相遇時，快指標繞環跑了m圈，則快指標所跑路程為
等式推導如下：
由推導結果可知，起點至環入口的距離x為環周長c的
在起點處和快慢指標相遇點處分別設定指標p1，p2，兩指標速度一致，當p1走了
我們知道p2的出發點正好是快慢指標的相遇點，即便繞著環走了
從上述推算，我們已經得知p1和p2距離環入口點的距離相同，均為z。
兩個指標再往後走z的距離，便會相遇，相遇點便恰好是環入口點。
至此，環入口定位的演算法原理講解完畢。
現在來分析一波邊界情況，以此證明上述公司的正確性。慢指標最少需要跑0圈，即進入環後第一次經過相遇點就被快指標追上了，所以n最小值為0。快指標要追上慢指標，至少要比慢指標多跑一圈，根據這些已知條件，可作推理如下：
已知已知得將
得因此，證明出x不可能為負，即起點距離環入口點距離不為負，符合常規事實，演算法嚴謹性得證。
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