本文參考了文章，一步步對乙個標準訊號進行分析，然後得到訊號的幅度、頻譜、相位資訊。一、基本概念
fftfft(fast fourier transformation)為一階快速傅利葉變換，在數字訊號處理中有著廣泛的應用。有些訊號在時域很難看到變化特徵，在頻域就很容易看得到，比如音符、線性調頻訊號。
fft把時域訊號變換到頻譜上，直觀的看出各頻率訊號的強弱。
取樣得到的數碼訊號，就可以做fft變換了。n個取樣點，經過fft之後，就可以得到n個點的fft結果。為了方便進行fft運算，通常n取2的整數次方。做fft分析時，幅值大小與fft選擇的點數有關，但是不影響分析結果。由於fft結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於取樣頻率一半的結果。
奈奎斯特取樣定理
乙個模擬訊號，經過adc取樣之後，就變成了數碼訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍。
幅值和相位
假設取樣頻率為fs，訊號頻率f，取樣點數為n。那麼fft之後結果就是乙個為n點的複數。每乙個點就對應著乙個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。
假設原始訊號的峰值為a，那麼fft的結果的每個點（除了第乙個點直流分量之外）的模值就是a的n/2倍。而第乙個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的n倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。
某點n所表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n。
頻譜解析度
頻率解析度為：取樣頻率/取樣點數=fs/n。如果要提高頻率解析度，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和取樣時間是倒數關係。
二、matlab實現
假設有乙個訊號由如下三個分量組成：
1）乙個2v的直流分量；
2）乙個頻率為50hz、相位為-30度、幅度為3v的交流訊號；
3）乙個頻率為75hz、相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。
其數學表達如下：
s=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)clc;
clear all;
close all;
% 假設有乙個訊號由如下三個分量組成：
%1）乙個2v的直流分量；
%2）乙個頻率為50hz、相位為-
30度、幅度為3v的交流訊號；
%3）乙個頻率為75hz、相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。
fs =
256;
% sampling frequency
t =1
/fs;
% sampling period
n =256
;% length of signal
t =(
0:n-1)
*t;% time vector
%cos引數為弧度，所以-
30度和90度要分別換算成弧度。 s=2
+3*cos(2
*pi*
50*t-pi*30/
180)
+1.5
*cos(2
*pi*
75*t+pi*90/
180)
;figure()
plot
(s);
title
('原始訊號');
x =fft
(s,n)
%fft變換 重點關注 第1點、第51點、和第76點附近有較大值
ax =
abs(x)
figure()
plot
(ax)
;title
('fft模值');
z =(
fftshift
(x))
figure()
subplot(2
,1,1
);%二行一列第一幅圖
plot((
-n/2
:n/2-1
)*fs/n,
abs(z)*2
/n);
%實際頻率 實際幅值 計算*
2/n (直流分量其實不需要*2)
title
('幅頻特性曲線'
,'fontsize',13
);xlabel
('f/hz'
,'fontsize',13
);%橫座標顯示f/hz
ylabel
('幅值'
,'fontsize',13
);%縱座標顯示幅值
subplot(2
,1,2
);%二行一列第二幅圖
px =
angle
(fftshift
(x))
*180
/pi;
plot((
-n/2
:n/2-1
)*fs/n,px)
;title
('相位特性曲線'
,'fontsize',13
);%顯示標題
xlabel
('f/hz'
,'fontsize',13
);%橫座標顯示f/hz
ylabel
('相位/°'
,'fontsize',13
);%縱座標顯示相位/°
三、物理意義分析
假設以256hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。由前面的分析，fn=(n-1)*fs/n，可知：每兩個點之間的間距為1hz，第n個點的頻率就是n-1。訊號s有3個頻率：0hz、50hz、75hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看fft的結果的模值如圖所示。
列印出這三個點附近的fft復數值：
x = fft(s,n) %fft變換 重點關注 第1點、第51點、和第76點附近有較大值
x模值
第1個點
51200 + 0.0000i
512.0000
第2個點
-0.0000 - 0.0000i
0.0000
第3個點
-0.0000 - 0.0000i
0.0000
第50個點
-0.0000 - 0.0000i
0.0000
第51個點
332.55 - 192.00i
384.0000
第52個點
-0.0000 - 0.0000i
0.0000
第75個點
-0.0000 - 0.0000i
0.0000
第76個點
0.0000 + 192.00i
192.0000
第77個點
-0.0000 + 0.0000i
0.0000
幅度分析
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。
接著，我們來計算各點的幅度值。
由定理可知，給定模值an，
對於n!=1點的非直流訊號它對應的幅度為：an/(n/2)
對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為an/n
因此，直流分量為：512/n=512/256=2；50hz訊號的幅度為：384/(n/2)=384/(256/2)=3；75hz訊號的幅度為192/(n/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
相位分析
相位的計算可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。
然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管它。先計算50hz訊號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236，結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75hz訊號的相位，atan2(192,3.4386e-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
總結：假設取樣頻率為fs，取樣點數為n，做fft之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n；該點的模值除以n/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以n）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。
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