即對於矩陣table有table[i][j] ≤table[i][j + 1], table[i][j] ≤ table[i + 1][j]，我們也稱這樣的矩陣為楊氏矩陣。
給出判定某個數是否存在該矩陣中的高效演算法。
分析：
為了便於複雜度分析，我們暫時假定該矩陣為大小n*n。如下圖所示為乙個楊氏矩陣。
二分搜尋解法：
許多人都觀察到了矩陣在二維上都是有序的，所以使用在每一行（或者每一列）使用二分搜尋是很自然的想法。由於每一行二分搜尋需要o(lgn)時間，搜尋n行需要o(nlogn)的時間。顯然這個時間複雜度還是不夠高效。當然這只是第一步嘗試，不要讓自己過早的陷入到二分搜尋的泥潭中，好的方法還在後面。
一種錯誤的想法：
如果不細心也許會掉入乙個陷阱中。有人也許認為可以先從行來判定，如果某個數字於某2行間，則只需要檢查相應的2列即可，這是錯誤的。如下左邊圖所示，假定我們需要查詢9是否在矩陣中，由於9位於7到11之間，所以接下來在7和11的這兩列中（這2列在圖中高亮顯示）二分查詢9，雖然能夠查詢到9，雖然查詢9成功了，但是這個方法是錯誤的。因為10也位於7到11之間，但是10並不在這2列中。
即便是如下右邊圖示查詢範圍包括2行2列，儘管在查詢9和10都成功，但是還是錯誤的，反例大家可以自己找乙個。
step-wise線性搜尋解法：
從右上角開始，每次將搜尋值與右上角的值比較，如果大於右上角的值，則直接去除1行，否則，則去掉1列。如下圖顯示了查詢13的軌跡。首先與右上角15比較，13<15，所以去掉最右1列，然後與11比較，這是13>11，去掉最上面1行…以此類推，最後找到13。演算法複雜度o(n)，最壞情況需要2n步，即從右上角開始查詢，而要查詢的目標值在左下角的時候。
}四分分解演算法：
通過觀察很容易發現該題可以使用分治法來解決。可以看到，矩陣的中間元素總是將矩陣分成了4個子矩陣。如下圖所示，中間元素9將矩陣分成了4個小矩陣,這4個小矩陣在行和列上面都是排好序的，所以原問題可以分解為4個子問題。進一步觀察可以發現，每次可以排除掉1個子矩陣，也就是說只要考慮3個子問題即可。如查詢目標元素為13，則13>9，因為左上角的子矩陣都小於9，所以左上角的子矩陣可以不用再查詢，只需要查詢剩下的3個子矩陣即可。同理，當查詢元素為6時，由於6<9，因為右下角的子矩陣都大於9，因此可以直接排除右下角的子矩陣，只需要查詢其他3個子矩陣即可。當然，如果中間元素等於查詢的目標元素，則直接返回即可，否則在剩下的3個子矩陣中查詢。
該演算法**如下,注意邊界條件，**中加粗的部分不可省略，否則會導致**不可終止。l==r&&u==d表示矩陣中只有乙個元素，此時若不等於目標元素target，則必須返回false。
[cpp]view plain
copy
bool
quadpart(
intmat[n_max],
intm,
intn,
inttarget,
intl,
intu,
intr,
intd,
int&targetrow,
int&targetcol)else
if(l==r&&u==d)
if(mat[row][col]>target)else
}bool
quadpart(
intmat[n_max],
intn,
inttarget,
int&row,
int&col)
該演算法複雜度是多少呢？可以通過公式計算：
原文公式：t(n) = 3t(n/2) + c,t(
n) = 3t(
n/2) +
c,= 3 [ 3t(n/4) + c
] +c
= 3 [ 3 [ 3t(n/8)
+ c] + c
] +c
= 3k t(
n/2k
) +
c (3
k - 1)/2 = 3
k ( t(n/2
k) +
c ) - c/2setting
k = lg
n, t(
n) = 3
lg n
( t(1) +
c ) - c/2 =
o(3lg
n) = o(n
lg 3) <== 3
lg n = n
lg 3 = o(
n1.58)
注：我以為這裡公式應該是t(n) = 3 * t(n/4) + c ，不對的話請大家指正。二分演算法：
這個演算法我們從矩陣中間行或者中間列或者對角線開始查詢，找到s滿足
ai< s
< a
i+1 , 其中ai為矩陣中的值。
a）從中間行查詢，如查詢10位於9到16之間。
b）從中間列查詢，如查詢10位於9到14之間。
c）從對角線查詢，查詢10位於9到17之間。
顯然不管從**查詢，都可以將原矩陣分成2個子矩陣，這樣就分成了2個子問題，比起四分分解法的3個子問題，這個方法應該更好。
**如下，注意這裡**確定範圍用的是線性查詢，實際可以通過二分查詢加速整個過程。
[cpp]view plain
copy
bool
binpart(
intmat[n_max],
intm,
intn,
inttarget,
intl,
intu,
intr,
intd,
int&targetrow,
int&targetcol)
row++;
}return
binpart(mat,m,n,target,mid+1,u,r,row-1,targetrow,targetcol)||
binpart(mat,m,n,target,l,row,mid-1,d,targetrow,targetcol);
}bool
binpart(
intmat[n_max],
intn,
inttarget,
int&row,
int&col)
該方法複雜度的分析：為了方便，假定最後查詢的子矩陣為分成了2個相同大小的子矩陣,且都為原來1/4大小。
t（n)=2t(n/4)+cn
如果採用二分查詢確定範圍，則t(n)=2t(n/4)+clgn
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