CRC校驗原理

用到多項式和二進位制數之間的轉換

然後用到的主要運算是模2除法

1、迴圈校驗碼（crc碼）：是資料通訊領域中最常用的一種差錯校驗碼，其特徵是資訊字段和校驗欄位的長度可以任意選定。

2、生成crc碼的基本原理：任意乙個由二進位制位串組成的**都可以和乙個係數僅為『0』和『1』取值的多項式一一對應。例如：**1010111對應的多項式為x6+x4+x2+x+1，而多項式為x5+x3+x2+x+1對應的**101111。

3、crc碼集選擇的原則：若設碼字長度為n，資訊欄位為k位，校驗欄位為r位(n=k+r)，則對於crc碼集中的任一碼字，存在且僅存在乙個r次多項式g(x)，使得

v(x)=a(x)g(x)=xrm(x)+r(x);

其中: m(x)為k次資訊多項式， r(x)為r-1次校驗多項式，

g(x)稱為生成多項式：

g(x)=g0+g1x+ g2x2+...+g(r-1)x(r-1)+grxr

傳送方通過指定的g(x)產生crc碼字，接收方則通過該g(x)來驗證收到的crc碼字。

4、crc校驗碼軟體生成方法：

借助於多項式除法，其餘數為校驗字段。

例如：資訊字段**為: 1011001；對應m(x)=x6+x4+x3+1

假設生成多項式為：g(x)=x4+x3+1；則對應g(x)的**為: 11001

x4m(x)=x10+x8+x7+x4 對應的**記為：10110010000；

採用多項式除法: 得餘數為: 1010 (即校驗欄位為：1010）

傳送方：發出的傳輸欄位為: 1 0 1 1 0 0 1 1 0 10

資訊字段校驗字段

接收方：使用相同的生成碼進行校驗:接收到的字段/生成碼（二進位制除法）如果能夠除盡，則正確，

crc（cyclic redundancy check)迴圈冗餘校驗碼

是常用的校驗碼，在早期的通訊中運用廣泛，因為早期的通訊技術不夠可靠（不可靠性的**是通訊技術決定的，比如電磁波通訊時受雷電等因素的影響），不可靠的通訊就會帶來『確認資訊』的困惑，書上提到紅軍和藍軍通訊聯合進攻山下的敵軍的例子，第一天紅軍發了條資訊要藍軍第二天一起進攻，藍軍收到之後，發一條確認資訊，但是藍軍擔心的是『確認資訊』如果也不可靠而沒有成功到達紅軍那裡，那自己不是很危險？於是紅軍再發一條『對確認的確認資訊』，但同樣的問題還是不能解決，紅軍仍然不敢貿然行動。

對通訊的可靠性檢查就需要『校驗』，校驗是從資料本身進行檢查，它依靠某種數學上約定的形式進行檢查，校驗的結果是可靠或不可靠，如果可靠就對資料進行處理，如果不可靠，就丟棄重發或者進行修復。

crc碼是由兩部分組成，前部分是資訊碼，就是需要校驗的資訊，後部分是校驗碼，如果crc碼共長n個bit，資訊碼長k個bit，就稱為(n,k)碼。它的編碼規則是：

1、首先將原資訊碼(kbit)左移r位(k+r=n)

2、運用乙個生成多項式g(x)（也可看成二進位制數）用模2除上面的式子，得到的餘數就是校驗碼。

非常簡單，要說明的：模2除就是在除的過程中用模2加，模2加實際上就是我們熟悉的異或運算，就是加法不考慮進製，公式是：

0+0=1+1=0,1+0=0+1=1

即『異』則真，『非異』則假。

由此得到定理：a+b+b=a 也就是『模2減』和『模2加』真值表完全相同。

有了加減法就可以用來定義模2除法，於是就可以用生成多項式g(x)生成crc校驗碼。

例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)碼,資訊碼110產生的crc碼就是：

對於g(x)=x4+x3+x2+1的解釋：（都是從右往左數）x4就是第五位是1，因為沒有x1所以第2位就是0。

11101 | 110,0000（設a=11101 ，b=1100000）

取b的前5位11000跟a異或得到101

101加上b沒有取到的00得到10100

然後跟a異或得到01001

也就是餘數1001

10111101 | 110,0000

111 01

1 0100

1 1101

1001

餘數是1001，所以crc碼是110,1001

標準的crc碼是，crc-ccitt和crc-16，它們的生成多項式是：

crc-ccitt=x^16+x^12+x^5+1

crc-16=x^16+x^15+x^2+1

先舉個例子：

已知資訊位為1100，生成多項式g(x) = x3+x+1，求crc碼。

m(x) = 1100 m(x)*x3 = 1100000 g(x) = 1011

m(x)*x3 / g(x) = 1110 + 010 /1011 r(x) = 010

crc碼為： m(x)*x 3+r(x)=1100000+010 =1100010

其原理是：crc碼一般在k位資訊位之後拼接r位校驗位生成。編碼步驟如下：

（1）將待編碼的k位資訊表示成多項式 m(x)。

（2）將 m(x)左移 r 位，得到 m(x)*xr 。

（3）用r+1位的生成多項式g(x)去除m(x)*xr 得到餘數r(x)。

（4）將m(x)*xr 與r(x)作模2加，得到crc碼。

「模2除」中間過程的減法為「模2減」，即異或運算。

CRC校驗原理

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