tre
ap
treap
trea
p，顧名思義，就是tre
e+he
ap
tree+heap
tree+h
eap，是一種常見的平衡樹。
b st
bstbs
t性質給定一棵二叉樹，樹上的每個節點帶有乙個權值。
對於樹上的任意乙個節點，滿足：
滿足這兩條性質的二叉樹就是「二叉查詢樹」（bst
bstbs
t）。h ea
pheap
heap
性質即堆性質。
以大根堆為例，堆中的每乙個節點的權值大於子樹中任意節點的權值。
普通的bst
bstbs
t可以支援插入、刪除、檢索、求前驅／後繼等操作。
在隨機資料中，bst
bstbs
t的表現很優秀，單次操作期望時間複雜度為o(l
og2n
)o(log_2)
o(log2
n)。
但是，如果資料呈現單調遞增的樣子，那麼bst
bstbs
t就會退化成一條鏈，單次操作o(n
)o(n)
o(n)
。為了讓一條鏈平衡，誕生了許多「平衡樹」。treap就是其中一種。
滿足b st
bstbs
t性質且中序遍歷為相同序列的二叉查詢樹是不唯一的。而這些二叉查詢樹都是等價的。
我們可以在保持二叉查詢樹本質不變的情況下，改變它的形態，讓它接近一棵「平衡樹」。
改變樹的形態的方法就是「旋轉」。「旋轉」又分為「左旋」和「右旋」。
從這張圖中，我們可以看出：
以右旋為例，將待旋轉節點a
aa旋轉至其右子樹處，然後將原來a
aa節點左兒子的右子樹全部接到現在a
aa節點的左兒子處。
void
zig(
int& p)
void
zag(
int& p)
之前提到過，在資料隨機的情況下，bst
bstbs
t的期望時間複雜度為o(l
og2n
)o(log_2)
o(log2
n)。
我們可以利用「資料隨機」的特點創造平衡條件。
對於樹上的每乙個節點，我們賦予乙個隨機出來的數值key
keyke
y，稱為「鍵值」.
插入每乙個新節點之後，我們自底向上檢查，如果key
keyke
y不符合hea
pheap
heap
性質，我們就將其旋轉，直至整棵樹同時滿足bst
bstbs
t性質和hea
pheap
heap
性質。對於刪除操作，我們可以在找到待刪除節點之後將其旋轉至葉子節點再刪除。
對於維護的資訊，可能會出現重複的權值。於是對於相同權值我們只記錄一次，同時我們記錄它的出現次數。
我們可以在一開始就加入inf
infin
f,−inf
-inf
−inf
兩個數值，避免邊界情況的處理。
於是，我們就可以在期望o(l
og2n
)o(log_2)
o(log2
n)的時間內實現檢索、插入、刪除、求前驅／後繼。
以模板（普通平衡樹）為例，給出tre
ap
treap
trea
p的**：
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int inf =
0x3f3f3f3f
, maxn =
100010
;int n, tot, root =1;
struct treap tree[maxn]
;void
push_up
(int u)
intnew
(int val)
void
build()
void
zig(
int& p)
void
zag(
int& p)
void
insert
(int
& p,
int val)
if(val == tree[p]
.val)
if(val < tree[p]
.val)
else
push_up
(p);
}void
remove
(int
& p,
int val)
if(tree[p]
.l || tree[p]
.r)else p =0;
return;}
if(val < tree[p]
.val)
remove
(tree[p]
.l, val)
;else
remove
(tree[p]
.r, val)
;push_up
(p);
}int
get_rank
(int p,
int val)
intget_val
(int p,
int rank)
intpre
(int val)
break;}
if(tree[p]
.val < val && tree[p]
.val > tree[ret]
.val) ret = p;
if(val < tree[p]
.val) p = tree[p]
.l;else p = tree[p]
.r;}
return tree[ret]
.val;
}int
next
(int val)
break;}
if(tree[p]
.val > val && tree[p]
.val < tree[ret]
.val) ret = p;
if(val < tree[p]
.val) p = tree[p]
.l;else p = tree[p]
.r;}
return tree[ret]
.val;
}int
main()
return0;
}
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