treap——大名鼎鼎的隨機二叉查詢樹，以優異的效能和簡單的實現在oier們中廣泛流傳。
這篇blog介紹一種不需要旋轉操作來維護的treap，即無旋treap，也稱fhq-treap。
它的巧妙之處在於只需要分離和合併兩種基本操作，就能實現任意的平衡樹常用修改操作。
而不需要旋轉的特性也使編寫**時不需要考慮多種情況和複雜的父親兒子關係的更新，同時降低了時間複雜度。
此外，它還可以方便地支援可持久化，實在是功能強大。
接下來系統性地介紹一下無旋treap的原理和實現，最後講解一下應用和例題。
一、treap是啥？
treap是一棵二叉查詢樹，滿足中序遍歷始終是有序的。
treap的每個節點除了儲存資訊外，還要儲存乙個值\(pri\)。
這個\(pri\)儲存的是這個節點的優先順序。
它是幹嘛用的呢？
實際上，treap除了是乙個二叉查詢樹之外，它在另乙個意義下還是乙個堆。
每個節點的子節點，一定要滿足子節點的\(pri\)比父節點的\(pri\)小。\(pri\)越大的點越往上放。
這有什麼意義呢？為什麼要這樣定義？
事實上，\(pri\)值是程式隨機指派的，每個點的\(pri\)值是與這個點的權值無關的，是隨機的。
這樣隨機化就可以保證treap的深度是\(o(log\;n)\)，這就是隨機化的力量。
而且可以保證這樣建樹一定不會出現矛盾，現在模擬一下建樹的過程：
先把所有節點按照中序遍歷排好，然後找到其中\(pri\)最大的，把它作為整個treap的根，左邊的節點形成左子樹，右邊的節點形成右子樹。再對左右子樹遞迴處理。
這樣最終就能建好一棵treap。
二、treap的基本操作
講完了treap的定義，來看看treap的兩個基本操作：
分離（split）和合併（merge）。
分離：指的是將一棵treap按照中序遍歷的順序，分割成左右兩半，滿足左右兩半組成的treap的所有值都不變。
合併：指的是將兩棵treap（一般是從原先的treapsplit出來的）合併在一起，按照中序遍歷的順序，並且所有節點的值都不變。
split操作比較簡單，先講講如何實現：當然，split之前要先指定乙個值k，表示split出這個treap的中序遍歷中的前k個數作為第一棵split出的treap。
從這個treap的根開始，看它的左子樹的大小是否大於等於k，如果是，那麼說明右子樹和根都在第二棵中，繼續遞迴到左子樹中。
如果不是，那麼說明左子樹和根都在第一棵treap中，繼續遞迴到右子樹中，而且k要減去左子樹的大小加一。
**：
void split(int rt,int k,int&rt1,int&rt2)if(k<=siz[ls[rt]])
else
}
其中，rt是根，k是分出的第一棵子樹的大小，rt1和rt2用來返回。
combine函式用來維護節點的大小。
接下來看merge操作：
有兩棵treap，假設要把第二棵接到第一棵後面，那麼應該怎麼合併呢？
考慮兩個根節點的\(pri\)值，因為第一棵在第二棵前面，所以要不然rt1(第一棵的根)在rt2(第二棵的根)的左子樹，要不然rt2在rt1的右子樹。
但是因為有了\(pri\)的影響，所以只能rt1和rt2中\(pri\)較大的那個作為根。
如果rt1為根，那麼有rt1的右子樹和rt2合併作為rt1的現在的右子樹。
如果rt2為根，那麼有rt2的左子樹和rt1合併作為rt2的現在的左子樹。
兩種情況都遞迴進子樹中即可。
**如下：
int merge(int rt1,int rt2)
刪除val：先查詢rank(val)，然後按照rank把整個treapsplit成三個，刪除需要的點，最後merge剩下兩個。
void delete(int v)
查詢第k個值：把整個treapsplit成三個，輸出需要的值，最後合併起來。
int kth(int k)
前驅：kth(rank(val-1))。
後繼：kth(rank(val)+1)。
還有很多很多操作，供大家腦補。
四、區間操作
無旋treap和旋轉treap的更重要區別是，無旋treap可以很方便地支援區間的操作。
如何支援？你已經看到了，split操作分離出的就是乙個個區間啊！把一整棵treap分離出來一段區間，在上面盡情地修改吧。不過要記得像線段樹寫好區間pushdown哦！
比如區間翻轉，就是左右子樹調換，並且打上標記。區間加減乘除更不用說。
記得在split，merge和rank三個函式內部加上pushdown！
五、實戰應用
有很多平衡樹的題目，都能用treap解決。
luogu p3369 測試你的treap普通操作的熟練程度。
luogu p3391 區間操作的應用。
luoge p3165 區間操作和其他技巧。
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